38 复合函数的导数[法则4] 如果函数y=f(u)对u可导,函数u=g(x)对x可导,

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1、3.8复合函数的导数[法则4]如果函数y＝f(u)对u可导，函数u＝g(x)对x可导，则复合函数y＝f[g(x)]对x也可导，且yx'＝yu'·ux'。即复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。证明：设Δy、Δu、Δx分别为y、u、x的增量因为u＝g(x)在x处可导，所以u＝g(x)在x处连续当Δx→0时Δu→0。由和可得即yx’＝yu’·ux’例3.17求下列函数的导数⑴　　　⑵⑶解：⑴设y＝，u＝2x＋1，yx’＝yu’·ux’＝⑵yx'＝-4(1－3x)-5(1－3x)'＝12(1－3x)-5⑶yx'＝例3.2

2、0求下列函数的导数⑴y＝lncosx＋cos(lnx)⑵y＝(2x2－3)解：⑴⑵3.9反函数的导数[法则5]已知严格单调函数y＝f(x)是严格单调函数x＝g(y)的反函数，且x＝g(y)在点y处的导数不为零，那么y＝f(x)在x处可导，且1.反三角函数的导数⑴(arcsinx)'＝(-1＜x＜1)⑵(arccosx)'＝(-1＜x＜1)⑶(arctgx)'＝(-∞＜x＜+∞)⑷(arcctgx)'＝(-∞＜x＜+∞)例3.20求下列函数的导数⑴y＝xarcsinx⑵y＝arccos(a＞0)⑶y＝arctg2x解：⑴⑵⑶2.指数函数的导数⑴(ex)

3、'＝ex证明：∵指数函数y＝ex与对数函数x＝lny互为反函数，而xy'＝(lny)'＝∴yx'＝＝y＝ex⑵(ax)'＝axlna证明：∵指数函数y＝ax与对数函数x＝logay互为反函数，而xy'＝(logay)'＝∴yx'＝＝ylna＝axlna例3.24求下列函数的导数⑴y＝x3ex⑵y＝e3x＋a5x⑶y＝eaxcosbx解：⑴y'＝3x2ex＋x3ex⑵y'＝e3x·3＋a5xlna·5＝3e3x＋5a5xlna⑶y'＝eax·a·cosbx＋eax(－sinbx·b)＝eax(acosbx－bsinbx)[导数公式表]y＝C(C为常数)

4、y’＝0y＝xα(α为实数)y’＝αxα-1y＝logaxy’＝y＝lnxy’＝y＝axy’＝axlnay＝exy’＝exy＝sinxy’＝cosxy＝cosxy’＝-sinxy＝tgxy’＝sec2xy＝ctgxy’＝-csc2xy＝arcsinxy’＝y＝arccosxy’＝y＝arctgxy’＝y＝arcctgxy’＝3.10隐函数的导数所谓隐函数是指y是x的函数，但y与x之间的关系只能由F(x,y)＝0给出，而不易化成y＝f(x)的形式的函数。例3.27已知x3＋y3＝3axy，求yx'解：把y看成是x的函数，则y3、3axy是复合函数，等式

5、两边同时对x求导，得3x2＋3y2·y'＝3ay＋3ax·y'整理得[对数求导法]例3.29求y＝的导数解：两边取对数，得lny＝[ln

6、x-1

7、＋ln

8、x-2

9、－ln

10、x-3

11、－ln

12、x-4

13、]两边对x求导，得所以例3.30求y＝xsinx的导数解：两边取对数，得lny＝sinx·lnx两边对x求导，得所以3.12高阶导数[定义]函数y＝f(x)的导数f'(x)的导数[f'(x)]'叫做f(x)的二阶导数，记作f”(x)或y”，y＝f(x)的二阶导数f”(x)的导数[f”(x)]'叫做f(x)的三阶导数，记作f'''(x)或y'''，依此类推，y＝

14、f(x)的n－1阶导数的导数叫做f(x)的n阶导数，记作f(n)(x)或y(n)，二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数。例3.33设y＝excosx，求y'和y”解：y’＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)y”＝ex(cosx－sinx)＋ex(－sinx－cosx)＝－2exsinx例3.36求函数y＝ax的n阶导数解：y’＝(lna)axy”＝(lna)2ax………………y(n)＝(lna)nax3.13微分的概念及其几何意义1.微分是函数增量的近似值∵∴Δy≈f'(x)Δx我们把等式右边的部分称为函数y的微分，记作dy

15、即Δy≈dy2.微分的定义设函数y＝f(x)在x处可导，则称f'(x)Δx为函数y在点x处的微分，记作dy，即dy＝f'(x)Δx考察函数y＝x，则dx＝dy＝(x)'Δx＝Δx故微分又可表示为dy＝f'(x)dx3.微商的概念∵dy＝f'(x)dx∴f'(x)＝即导数等于函数的微分与自变量的微分的商，叫做微商同样，我们也可以用表示f”(x)，………………用表示f(n)(x)。4.微分的几何意义如图，PN＝Δx，P'N＝Δy，P’f'(x)＝tg∠TPN＝TTN＝f'(x)Δx＝dyPN所以，Δy表示曲线的纵坐标的改变量dy表示切线的纵坐标的改变量。

16、这就是微分的几何意义。3.14微分的运算由微分表达式dy＝f’(x)dx可以看出，求函数的微分只要用函数的导