用好法向量,巧解高考题

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1、用好法向量，巧解高考题为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够，特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概念：如果非零向量，那么叫做平面的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。（一）直线的方向向量和平面的法向量分别为，则直线和平面所成的角等于向

2、量所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即。(2003全国（理）18题)如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点到平面的距离。（Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设，则，，，　　　　　　，，，∴,，∴，，由得，，∴，，，设平面的法向量为，则，，由，得，，令得，，∴平面的一个法向量为，∴与的夹角的余弦值是，∴与平面所成角为。当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向

3、向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中，,，，点在上，且，（I）证明：；（II）求以为棱，与为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。（Ⅲ）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为，，∴，，设平面的法向量为，则由题意可知，，由得，∴令得，，∴平面

4、的一个法向量为设点是棱上的点，，则，　　　　　　由得，∴，∴当是棱的中点时，。同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时，；当二面角为钝角时，。我们再来看2004年高考湖南（理）19题：（Ⅱ）解：由题意可知，,,∵∴为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则由题意可知，,由得，∴令得，，∴平面的一个法向量为，

5、∴向量与夹角的余弦值是，∴，由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，∴所求二面角的大小为。我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我们可用这一特征来证明两个平面垂直。（四）设两个平面和的法向量分别为，若，则这两个平面垂直。（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中，，分别是上的点，且，求证：平面平面。证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则由题意可知，，由得，∴令得，，∴平面的一个法向量为，由题意可知，平面的一个法向量为∴　　

6、　　∴平面平面（五）设平面的法向量为，是平面外一点，是平面内一点，则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值，即。我们再来看2003年全国（理）18题：（Ⅱ）解：设，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，，由，得，，令得，，∴平面的一个法向量为，而，∴点到平面的距离。我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离。（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量），分别为异面直线上的点，则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值，

7、即。（1999年全国（理）21题）如图，已知正四棱柱中，点在棱上，截面，且面与底面所成的角为，，求异面直线与之间的距离。解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，连结交于，连结，则就是面与底面所成的角的平面角，∴=，∴又∵截面，为的中点，∴为的中点，∴，则，，，，∴，，设向量与两异面直线都垂直，由，得，∴，∴，∴异面直线与之间的距离前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，

8、一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法向量较为有效。