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《2010年考研数学强化线性代数讲义（第五讲）.do》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut201009302010考研强化班线形代数讲义主讲：尤承业欢迎使用新东方在线电子教材第五讲线性方程组概念部分一.线性方程组解的情况的判别即有解可用表示.有唯一解.判别其解的情况用三个数:未知数的个数.①无解.②有唯一解.(当A是方阵时,就推出克莱姆法则.)③有无穷多解.方程的个数m虽然在判别公式中没有出现,但它是和的上界,因此当时,一定有解.当时,一定不是唯一解.对于齐次方程组,判别解的情况用两个数:.只有零解101考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20
2、100930考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930有非零解.A列满秩只有零解.推论1当A列满秩时,A在矩阵乘法中有左消去律:.证明设，,则.都是的解.而A列满秩,只有零解,,即.0推论2如果A列满秩,则.证明只用证明齐次方程组和同解.(此时矩阵和的列向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)是的解是的解.二.线性方程组的通解1.齐次方程组(1)解的性质:如果是齐次方程组的一组解,则它们的任何线性组合也都是解..(2)齐次方程组的基础解系和通解如果齐次方程组有非零解,则它的解集J(全部解的集合)是无穷集
3、,称J的每个极大无关组为的基础解系.判别一组向量是的基础解系的条件为①是的一组解.②线性无关.101考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930③的每个解可同线性表示.于是,当是的基础解系时:向量是的解可用线性表示.的通解为:,其中可取任何常数.定理设有n个未知数,则.即它的基础解系中包含解的个数为.于是“③的每个解可同线性表示.”可换成③.推论如果,为的列数(的行数),则.,则每个都是齐次方程组的解.即是的部分组。于是即.2.非齐
4、次方程组(1)非齐次方程组解的性质命题1如果是的一组解,则①它们的线性组合也是解的.②它们的线性组合是的解.101考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930.命题2如果是的一个解,则:向量也是的解是导出齐次方程组的解..命题2也就是说,也是解是与导出组的一个解的和.(2)非齐次方程组的通解如果是非齐次方程组的解,是导出组的基础解系,则的通解(一般解)为,其中可取任何常数.例题部分一.概念题例1和都是元方程组，判断下列断言的正确性.
5、(1)和同解.(2)和同解.(3)的解都是的解.(4)的解都是的解.(5)的解都是的解.例2设是矩阵,它的列向量组为,则(A)如果非齐次方程组有唯一解,则,并且不为0.(B)如果线性相关,则非齐次方程组有无穷多解.(C)总存在维向量,使得方程组无解.(D)如果有唯一解,则.例3都是非齐次方程组的解,其中,,.则的通解为.101考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930例4设是矩阵,,则下列4个断言中不正确为().(A)只有零解.(
6、B)有非零解.(C)对于任何3维向量一定有解.(D)对于任何4维向量一定有解.例5线性方程组的通解可以表示为(A)任意.(B)任意.(C)，任意.(D)任意.二.计算题(求通解)二.计算题(求通解)例6齐次方程组AX=0的系数矩阵为1+a11……122+a2……2A=333+a……3,…………nnn……n+aa为什么数时AX=0有非零解?求通解.(04一)解：当时，显然,有非零时，并且它与同解。一个基础解系为：同解为任意。101考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930考研资料共享QQ77659729
7、9新浪共享id：ncut20100930当时于是，当即时方程组也有非零解，此时向量是一个解，构成基础解系，同解为，任意。例7讨论p,t的取值对下面方程组解的影响,并在有无穷多解时求通解.(96四)101考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930解：（1）当时方程组有无穷多解。时无解。（2）时得的同解方程组令得一特解.与同解基础解系：，.同解为任意。101考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930考研资
8、料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930当时同解方程组特解的基础解系,同解任意。例8线性方程组的增广矩阵为又已知(1,-1,1,-1)T是它的一个解.(1)用导出组的基础解系表示通解.(2)写出满足x2=x3的全部解.(0
