《数学分析》(华师大二版)课本上的习题2new

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1、P.27习题2．按定义证明：（1）证明因为，所以，取，，必有.故（2）证明因为，于是，取，，有.所以（3）证明因为，于是，取，，必有.所以（4）证明因为，于是，取，，必有.所以41（5）证明因为，设，于是，从而，所以，取，，有.故3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）；（7）解（1）（用例2的结果，），无穷小数列.（2），（用例5的结果，）（3），（用例2的结果，），无穷小数列.（4），（用例4的结果，），无穷小数列.（5），（用例4的结果，），无穷小数列

2、.（6），（用例5的结果，）.（7）,（用例5的结果，）.4．证明：若，则对任一正整数k，有41证明因为，所以，于是，当时，必有，从而有，因此.5．试用定义1证明：（1）数列不以1为极限；（2）数列发散.证明（用定义1证明）数列不以a为极限（即）的定义是：，，，（1）取，，取，有，故数列不以1为极限.另证（用定义1’证明）取，则数列中满足的项（有无穷多个）显然都落在1的邻域之外，故数列不以1为极限.（2）数列=，对任何，取，则数列中所有满足“n为偶数，且”的项（有无穷多个），都落在a的邻域之外，故数列不以任何数a为极限，即数列发

3、散.6．证明定理2.1，并应用它证明数列的极限是1.定理2.1数列收敛于a充要条件是：为无穷小数列.（即的充要条件是）证明（必要性）设，由数列极限的定义，，41有，所以.（充分性）设，由数列极限的定义，，有，所以.下面证明：数列的极限是1.因为是无穷小数列，所以数列的极限是1.7．证明：若，则.当且仅当a为何值时反之也成立？证明设，由数列极限的定义，，，所以也有.但此结论反之不一定成立，例如数列.当且仅当a=0时反之也成立.设，于是，，所以.8．按定义证明：（1）；（2）（3），其中证明（1）因为.于是，取，，必有，从而.41（

4、2）因为，于是，取，，必有，所以（3）因为当n为偶数时，当n为奇数时，，故不管n为偶数还是奇数，都有.于是，取，，必有，所以.P.33习题1．求下列极限：⑴根据P.24例2，，可得⑵⑶根据P.25例4，，可得⑷这是因为由P.29例1若，则.于是由，得41.⑸，因为（）⑹2．设，，且.证明：存在正数N，使得当时，有.证明由，有.因为，由P.24保号性定理2.4，存在，使得当时有.又因为，所以，又存在，使得当时有.于是取，当时，有.3．设为无穷小数列，为有界数列，证明：为无穷小数列.证明因为为有界数列，所以存在，使得.由为无穷小数列

5、，知，.从而当时，有，所以，即为无穷小数列.4．求下列极限（1）41（2）因为，而，于是，从而（3）（4）当时，，，而，所以.（5）因为，所以（6）因为，且，所以5．设与中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明41是发散数列.又问和是否必为发散数列.证明（用反证法证明）不妨设是收敛数列，是发散数列.假设数列收敛，则收敛，这与是发散数列矛盾，所以，数列发散.同理可得数列发散.和不一定是发散数列.例如，若是无穷小数列，是有界的发散数列.则和是无穷小数列，当然收敛.但是，有下列结果：如果，是发散数列，则和一定是发散数列.6．证明以下数

6、列发散：（1）证明设，则，而，由P.33，定理2.8知发散.（2）证明的偶数项组成的数列，发散，所以发散.（3）证明设，则子列，子列41，故发散.7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若和都收敛，则收敛.解结论不一定成立.例如，设，则，都收敛，但发散.注若和都收敛，且极限相等（即），则收敛.（2）若，和都收敛，且有相同的极限，则收敛.证明设，则由数列极限的定义，知，，，；同样也有，，；，，.取，当时，对任意的自然数n，若，则必有，从而；同样若，则必有，从而也有；若，则必有，从而.所以，即收敛.8

7、．求下列极限：（1）解因为而，所以另解因为，设，41，则.于是，所以.（2）答案见教材P.312提示.（3）解所以，另解因为，所以，于是，从而.（4）答案见教材P.312提示.9．设为m个正数，证明：证明因为而，所以10．设，证明：（1）；（2）若，则.证明（1）因为，所以.由于41，且，从而.（2）因为，由P.29定理2.4，存在，使得当时，有.于是，并且，所以.P.38习题1．利用求下列极限：（1）（2）（3）（4）注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若，且，则.（5）解因为数列单调增加，且有上界3，于是41，所以2．试

8、问下面的解题方法是否正确：求解不正确.因为极限是否存在还不知道（事实上极限不存在），所以设是错误的.3．证明下列数列极限存在并求其值：（1）设证明先证数列的有界性，用数学归纳法证明：2是的一个上界.，假设，则，所以有上界2.其次证明单调增加.，所以，即单调增加.