概率4 习题课 概率论与数理统计

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1、概率论与数理统计第13讲第四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第三节协方差及相关系数第四节矩、协方差矩阵引例1分赌本问题(产生背景)A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?一、数学期望的概念第一节数学期望A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAABBABBA

2、胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目,则为故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例2射击问题试问:该射手每次射击平

3、均命中靶多少环?命中环数k命中次数频率解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量Y.平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加1.离散型随机变量的数学期望分赌本问题A期望所得的赌金即为X的数学期望射击问题“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2

4、)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.随机变量X的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等.例1设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律X10987Y10987Pk0.60.10.20.1Pk0.40.30.10.2试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？解由此可见，射手甲的射击

5、水平略高与射手乙的射击水平。（环）E(X)定义1设离散型随机变量X的分布律为若级数绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望.记为E(X)．即定义2连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即[注]数学期望简称为期望，又称为均值.例2设有5个相互独立的电子元件,其寿命Xk(k=1,2,..,5)均服从同一指数分布，其概率密度为求将这5个元件（1）串联，（2）并联组成的系统的平均寿命．(1)串联时系统寿命，其分布函数为解Xk的分布函数为(2)并

6、联时系统寿命，这说明：对5个寿命均服从指数分布的元件，仅从系统的平均寿命的大小来看，采用并联方式的平均寿命是串联方式的平均寿命的11.4倍.M的概率密度为其分布函数为例3某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为X(以年记),规定:X1,一台付款1500元;13,一台付款3000元.试求该商店一台电器收费Y的数学期望.设寿命X服从指数分布,概率密度为解一台收费Y的分布律Y1500200025003000pkP{X1}P{1

7、3}0.09520.08610.07790.7408E(Y)=2732.15例4设X~(),求E(X)解X的分布律为E(X)=例5设X~U(a,b),求E(X)解X的概率密度为E(X)=(1)X(离散型)的分布律为：若级数绝对收敛，则(2)X(连续型)的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则定理1设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g为连续函数)随机变量的函数的数学期望Y=g(X)证（1）由离散型随机变量的函数的分布，有（2）设X是连续离散型随机变量，Y=g(X)的概率密度为例6设风速V在(0,a)

8、上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力W=kV2,(k为常数),求W的数学期望．解风速V的概率密度为例7国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变量，它服从(a,b)上的均匀分布．设每售出该商品一吨可以为国家创汇s万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损l万元，问应组织