用曲线积分求旋转曲面面积

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时间:2018-10-07

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1、用曲线积分求旋转曲面的面积蜀南竹海1作为定积分的几何应用,旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。2先看特殊的情形旋转轴为坐标轴3设L是上半平面内的一条平面曲线。 将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面,求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L4L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到x轴的距离是y(如图)。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为:(面积元素)于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲

2、面的面积为:5命题1:上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为:L6命题2:右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为:同理L7下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分 得到熟悉的旋转曲面的面积公式8直角坐标方程9y=f(x)如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为:10y=f(x)如果L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为:11参数方程12如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为:13如果则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为:14极坐标方程15如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为:16我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和

3、旋转曲面面积之间的关系的定理:古尔丁定理PaulGuldin(古尔丁)1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.17L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。古尔丁定理形心18如果你很容易求得曲线L的弧长和形心,用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心19下面来看一般的情形一般的曲线&一般的旋转轴20设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线l的一侧(如图)。 将L绕直线l旋转一

4、周得一旋转曲面,求该旋转曲面的面积A。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。Ll21L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到直线l的距离是:该弧微分绕l旋转而成的旋转曲面的面积约为:于是整个曲线L绕直线l旋转而成的旋转曲面的面积为:设直线l的方程为ax+by+c=0。l22命题3曲线L绕直线ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为:Ll23下面举几个例子来说明 命题中的公式的应用由于其中积分较难计算用数学软件Maple完成24例1求曲线y=x2(0x^2

5、;f:=(x,y)->2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5))*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=(2*Pi/sqrt(5))*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);25例

6、2求y=x2(0x^2;f:=(x,y)->y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);26例3求y=lnx(1ln(x);f:=(x,y)->x+y;a:=1:b:=exp(1):sqrt(2

7、)*Pi*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);27

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