第四讲导数和偏导数计算

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1、第四讲导数及偏导数计算实验目的1.进一步理解导数概念及其几何意义.2.学习matlab的求导命令与求导法.实验内容1.学习matlab命令.建立符号变量命令sym和syms调用格式:x=sym('x'),建立符号变量x;symsxyz,建立多个符号变量x,y,z;matlab求导命令diff调用格式:diff(函数),求的一阶导数;diff(函数,n),求的n阶导数(n是具体整数);diff(函数,变量名),求对的偏导数;diff(函数,变量名,n),求对的n阶偏导数;matlab求雅可比矩阵命令jacobian,调用格式:jacobian([函数;函数;函数],[

2、])给出矩阵:2.导数概念.导数是函数的变化率,几何意义是曲线在一点处的切线斜率.(1)点导数是一个极限值.例3.1.设,用定义计算.解:在某一点的导数定义为极限:我们记,输入命令:symsh;limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0)得结果:ans=1.可知(2)导数的几何意义是曲线的切线斜率.例3.2.画出在处()的切线及若干条割线,观察割线的变化趋势.解:在曲线上另取一点,则的方程是:.即取,分别作出几条割线.h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;plot(x,exp(x),'r.');h

3、oldonfori=1:5;plot(h(i),exp(h(i)),'r.')plot(x,a(i)*x+1)endaxissquare作出在处的切线plot(x,x+1,'r.')从图上看,随着与越来越接近,割线越来越接近曲线的割线.3.求一元函数的导数.(1)的一阶导数.例3.3.求的导数.解:打开matlab指令窗,输入指令:>>symsx;dy_dx=diff(sin(x)/x)得结果:dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字,不允许使用其他字符,在这里我们用dy_dx表示例3.4.求的导数.解

4、:输入命令:dy_dx=diff(log(sin(x)))得结果:dy_dx=cos(x)/sin(x).在matlab中,函数用log(x)表示,而log10(x)表示例3.5.求的导数.解:输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20).得结果:dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).注意输入时应为2*x.例3.6.求的导数.解:输入命令:dy_dx=diff(x^x).得结果:dy_dx=x^x*(log(x)+1).利用matlab命令diff一次可以求出若干个函数的导数.例3.7.求下列函数的导数:1.2.3.4.解:输入命

5、令:a=diff([sqrt(x^2-2*x+5),cos(x^2)+2*cos(2*x),4^(sin(x)),log(log(x))]).得结果:a=[1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2),-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x),4^sin(x)*cos(x)*log(4),1/x/log(x)].dy1_dx=a(1)dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2).dy2_dx=a(2)dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x).dy3_dx=a(3)dy3_dx=4^sin(x)*

6、cos(x)*log(4).dy4_dx=a(4)dy4_dx=1/x/log(x).由本例可以看出,matlab函数是对矩阵或向量进行操作的,a(i)表示向量a的第i个分量.(2)参数方程所确定的函数的导数.设参数方程确定函数,则的导数例3.8.设,求解:输入命令:dx_dt=diff(a*(t-sin(t)));dy_dt=diff(a*(1-cos(t)));dy_dx=dy_dt/dx_dt.得结果:dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).其中分号的作用是不显示结果.4.求多元函数的偏导数.例3.9.设求u的一阶偏导数.解:输入命令:diff((x^

7、2+y^2+z^2)^(1/2),x).得结果:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.也可以输入命令:jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2),[xy]).得结果:ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x,1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]给出矩阵例3.10.求下列函数的偏导数:1.2.解:输入命令:diff(atan(y/x).得结果:ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2).输入命令:diff(

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