三角函数的最值问题

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1、三角函数的最值问题王俊胜求三角函数的最值（值域）是近几年高考的热点之一。解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，其概念性强，具有一定的综合性和灵活性。下面谈谈这方面的题型：一、可转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型（1）可将函数式化为的形式求解的问题，形如或的函数适用。例1已知函数，当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。分析：本题考察逆用正弦函数的性质的能力，先将降次处理，再应用asinx＋bcosx，其中的

2、知识，转化原函数式。解：当且仅当时，y取得最大值。故所求的自变量x的集合为。解后反思：对形如的函数最值问题，需先将sinxcosx、降次，化归为的最值问题求解。例2求函数的值域。分析：原函数的解析式中只含有cosx的一次式，所以可反解出cosx，再利用余弦函数的有界性求出y的取值范围。解：由又因所以。解后反思：对本题也可先将函数式变为，所以知。（2）可将函数化为的形式求解的问题，形如或者形如的函数适用。例3求函数的值域。分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cosx的一次式，而分母是含sinx的一次式，不能直接解出co

3、sx或sinx，通常是化作求解。解法1：由得所以所以因为所以，由此解得所以函数的值域为[－1，1]解后反思：对此类问题也可通过几何方法来求解，现介绍如下：解法2：由，设点P（sinx，cosx），Q（－2，0），则可看作是单位圆上的动点P与点Q连线的斜率，即。所以。所以函数的值域为[－1，1]二、可转化为求二次函数在某一区间上的最值问题，典型的是（1）形如的值；例4如果，那么函数的最小值是（）A.B.C.D.分析：因为所以，这显然可联系二次函数的知识来源。解：由则当时，f(x)有最小值，故选D。解后反思：对形如型的函数最值，可转

4、化为求二次函数在某一区间上的最值问题，但需要注意新元t的取值范围。（2）形如的最值例5求函数的最值。分析：利用之间的关系，通过换元就可使原函数转化为二次函数。解：设则于是故当时，即时，当t=1时，即时，解后反思：函数的最值问题形同质异，需注意解法的不同。三、转化为可利用均值不等式求解的最值（1）函数的最值；例6求函数的最值。例7求函数的最值。（2）函数的最值。转化思想：由，从而求出函数的最值。四、利用其它方法求解的最值问题（如单调性、判别式、图像法等）例8求函数的最值。分析：此题可用单调来求解，也可以用图像法。例9求函数的最值。

5、分析：此题可通过变形成形式，再应用判别式来求最值。五、含参数的最值问题例10求函数的值域。例11设函数的定义域为，值域为[－2，3]，求a,b的值。分析：此类题目需对参数进行讨论。