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《数学归纳法和数列的相关知识》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、等差和等比数列名称等差数列等比数列定义an-an-1=d(n≥2)(n≥2)通项公式an=a1+(n-1)d=am+(n-m)dn∈N*an=a1·qn-1=am·qn-mn∈N*递推公式an-an-1=d,an=an-1+dan=an-1q,前n项和已知Sn求an中项a,A,b成等差数列，a,A,b成等比数列，性质1若项数m+n=p+q,则am+an=ap+aq若项数m+n=p+q,则aman=apaq性质2{an}为等差数列，公差d′=K2dSk=a1+a2+a3+……+akS2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+……+a2kS3k-S2k=a2k+1+
2、a2k+2+a2k+3+……+a3k{an}为等比数列，公比q′=qkSk=a1+a2+a3+……+akS2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+……+a2kS3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+……+a3k性质3{an}{bn}为等差数列，Sn,Tn为前n项和：性质4
3、q
4、<1,则设法a-d,d,a+da-3d,a-d,a+d,a+3d证明递推法an+1-an=d（d与n无关）a2-a1=d等差中项法2an=an+1+an-1();an2=an+1·an-1Snmax求法①an>0,an+1<0,求出n,再求Sn;②配方Sn=an2+bn=a(
5、n+11求通项的方法（1）转化法（转化成等差和等比）1、已知数列{an}的各项为正数，满足2sn=3an-3,求（1）数列{an}的的通项公式；2、已知数列{an}的各项和为sn，满足2sn-1sn+an=0,求（1）求证：；（2）数列{an}的的通项公式；3、在{an}中，a1=2,an+1=3an+24、在{an}中，a1=1,an+1=3an+2·4n5、在{an}中，a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0（2）叠加和叠乘1、在数列里，第n项及前n项和满足，求数列的通项公式2、在数列里，求数列的通项公式（3）构造法1、在数列中，（I）设，求
6、数列的通项公式；（II）求数列的前项和2、在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；3、设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。（4）已知求求an1、设数列的前项的和，11（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：2、数列的前项和为，已知（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；3、数列{an}中，a1＝5,an＝an－1＋an－2＋……＋a2＋a1,(1)求通项公式an；(2)求.4、已知数列的前n项和（n为正整数）。（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求和的方法（1）列项相消1、设
7、数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设2、等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n项和．解：（I）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，11故（II）因为所以所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，3、（天津2011）已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（III）设证明：．（I）解：由可得11又（II）证明：对任意①②③②—③，得④
8、将④代入①，可得即又因此是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由④式得从而所以，对任意，11对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意（2）错位相减1、已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；11（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a
9、3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得an＝-(n－1)2.那么an＋1－an＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n于是cn＝2nqn－1.当q＝1时，Sn＝
10、2＋4＋6＋……＋2n＝
