一阶常系数线性差分方程

《一阶常系数线性差分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二节一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为yt+1+ayt=f(t)(11-2-1)和yt+1+ayt=0，(11-2-2)其中f(t)为t的已知函数，a≠0为常数．我们称方程(11-2-1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11-2-2)称为其对应的齐次差分方程．一、齐次差分方程的通解将方程(11-2-2)改写为：yt+1=-ayt,t=0,1,2,…．假定在初始时刻(即t=0)时，函数yt取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………由数学归纳法易知，方程(11-2-2)的通解为yt

2、=A(-a)t,t=0,1,2,…．如果给定初始条件t=0时yt=y0,则A=y0,此时特解为：yt=y0(-a)t．（11-2-3）二、非齐次方程的通解与特解求非齐次方程(11-2-1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11-2-1)的特解的常用方法为待定系数法．１．迭代法求通解将方程(11-2-1)改写为yt+1=(-a)yt+f(t),t=0,1,2,…．逐步迭代，则有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………由数学归纳

3、法，可得yt=(-a)ty0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=(-a)ty0+,(t=0,1,2,…)，（11-2-4）其中=(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=·f(t-i-1)（11-2-5）为方程(11-2-1)的特解．而yA(t)=(-a)ty0为(11-2-1)对应的齐次方程(11-2-2)的通解．这里y0=A为任意常数．因此，(11-2-4)式为非齐次方程(11-2-1)的通解．与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(11-2-1)的通解(11-24-)也可以由齐次方程(11-2-2)的通

4、解(11-2-3)经由常数变易法求得，这里不予赘述．例1求差分方程yt+1-yt=2t的通解．8解方程为一阶非齐次线性差分方程．其中a=-,f(t)=2t．于是由非齐次方程的特解公式(11-2-5)有=由(11-2-4)式，得所给方程的通解yt=A·()t+()t-1(22t-1)=()t+·2t+1,这里=A-为任意常数．2．待定系数法求特解迭代法虽然可直接推导出非齐次方程(11-2-1)的通解公式(11-2-4)，但是在实际应用中经常用公式(11-2-5)直接去求方程(11-1-1)的特解很不方便；因此，我们有必要去探寻求方程(11-2-1)的特解的别的方法

5、．与常微分方程相类似，对于一些特殊类型的f(t)，常采用待定系数法去求方程(11-2-1)的特解，而不是直接利用公式(11-2-5)求特解．下面介绍经济学中常见的几类特殊f(t)的形式及求其特解的待定系数法．情形Ⅰf(t)为常数．这时，方程(11-2-1)变为yt+1+ayt=b，(11-2-6)这里a,b均为非零常数．试以=μ(μ为待定常数)形式的特解代入方程(11-2-6)，得μ+aμ=(1+a)μ=b．当a≠-1时，可求得特解(a≠-1)，当a=-1时，这时改设特解=μt(μ为待定系数)，将其代入方程(11-2-6)，得μ(t+1)+aμt=(1+a)μt

6、+μ=b,因a=-1,故求得特解=bt(a=-1)．综上所述，方程(11-2-6)的通解为yt=yA(t)+=(11-2-7)其中A为任意常数．例2求差分方程yt+1-2yt=5的通解．解因a=-2≠-1,b=5,故由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为8yt=A·2t-5,A为任意常数．例3求差分方程yt+1-yt=-5满足初始条件y0=1的通解．解因a=-1,b=-5,则由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为yt=A-5t,以t=0,y0=1代入通解之中，求得A=1．于是，所求方程的特解为yt=1-5t．情形Ⅱf(t)为t的多项式．为讨论简便起见

7、，不妨设f(t)=b0+b1t(t的一次多项式)，即考虑差分方程yt+1+ayt=b0+b1t,t=1,2,…，(11-2-8)其中a,b0,b1均为常数，且a≠0,b1≠0．试以特解=a+bt,(a，b为待定系数)代入方程(11-2-8)，得a+b(t+1)+a(a+bt)=b0+b1t，上式对一切t值均成立，其充分必要条件是：当1+a≠0时，即a≠-1时，a=，b=,于是，方程(11-2-8)的特解为(a≠-1)；当a=-1时，改设特解=(a+bt)t=at+bt2，将其代入方程(11-2-8)，并注意a=-1,可求得特解=(b0-b1)t+b1t2(a=-

8、1)．综上所述，方程(1