阿罗不可能定理

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1、阿罗不可能定理　　阿罗在运用新的数学工具研究一般均衡理论，研究不确定条件下如何进行最优化决策，研究社会选择理论的工作中，做出了突出贡献。　　在为数不少的国人的心目中，选举的意义恐怕就在于大家根据多数原则（majorityrule）通过投票推举出最受我们爱戴或信赖的人。然而，通过选举能否达到这个目的呢？　　1972年诺贝尔经济学奖获得者、美国经济学家阿罗（K.Arrow）采用数学中的公理化方法，于1951年深入研究了这个问题，并得出在大多数情况下是否定的结论，那就是鼎鼎大名的“阿罗不可能定理（Arrow'simpossibilitytheorem）”。　　阿罗遵

2、从经济学研究集体决策（groupdecision-making）和公共选择（publicchoice）问题时的惯例，首先将个人投票视为每个独立个体根据自己的偏好程度给各种备选方案从大到小排序，个体的偏好排序满足下列要求：　　1、完全性（completivity）：对任意一对备选方案x、y，一个人喜欢x胜于y、喜欢y胜于x和对两者同样喜欢这三种情况必有其一。　　2、反身性（reflexivity）：任意一个备选方案至少和它自身一样好。或者说，从同样的偏好标准出发，一个人不能既喜欢又不喜欢同一个备选方案。　　3、传递性（transivity）：如果一个人喜欢x胜于

3、y，喜欢y胜于z，那么他应该喜欢x胜于z；而且只有当他喜欢x和y的程度相同，喜欢y和z的程度相同时，他才能同样程度地喜欢x和z。　　显而易见，对于一个正常人来说，这三个要求相当合情合理，绝无过分之处。　　阿罗进而将选举视为一种规则，它能够将每个个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，并满足以下五个条件（即阿罗公理[Arrow'satoxism]）的要求：　　1、所有投票人就备选方案所想到的任何一种次序关系都是实际可能的。　　该公理表明：选民对候选人的任何一种排序都是允许的，也就是每一位选民可以完全按照各自的意愿挑选自己中意的候选人。　　2、对任意一对备选方

4、案x、y，如果对于任何投票人都有x≥y，根据选举规则就应该确定x≥y；而且当且仅当对所有投票人都有x=y时，根据选举规则得到的最后结果才能取等号。　　该公理表明：全体选民的一致愿望必须得到尊重，同时每个选民的意愿也不能受到随意的忽略，体现了选民的主权特性。　　3、对任意一对备选方案x、y，如果在某次投票的结果中有x＞y，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中x的位置保持不变或提前，则根据同样的选举规则得到的最终结果也应包括x＞y。　　该公理表明：如果所有选民对某位候选人的喜欢程度相对于其他候选人来说没有降低，那么该候选人在选举结果中的位置不会变化。　　4、

5、如果在两次投票过程中，备选方案集合的子集中各元素的排序没有改变，那么在这两次选举的最终结果中，该子集内各元素的排列次序同样没有变化。　　该公理表明：某一组候选人在选举结果中的相对位置不会受除他们以外的其他候选人选举地位变动的影响，反映了无关候选人的独立性。公理3和公理4结合在一起，说明候选人的选举成绩只取决于选民对他们作出的评价。　　5、不存在这样的投票人，使得对于任意一对备选方案x、y，只要该投票人在选举中确定x＞y，选举规则就确定x＞y。　　该公理表明：不存在能够仅凭个人意愿就决定选举结果的独裁者。　　应该说这五个条件也是一个公平、合理选举的最起码要求。然

6、而通过引入决定性集合（decisiveset，选民集合I的子集J称为候选人x、y的决定性集合，如果对于任何一次投票，只要(x＞y)i，i∈J，选举规则就确定x＞y。由公理2可以推出这样的集合一定存在）和最小决定性集合概念以及相关引理的证明，阿罗令人惊讶地发现：在只有两名候选人的情况下，采用简单多数规则的选举就能满足上述的五个条件的要求；但在超过三名候选人的情况下，满足前四个公理的选举规则竟然违反第五个公理（本来选举的目的就是让大家作主，结果却整出来个一言九鼎的“独裁者”），因此不存在能同时满足这五个条件的选举规则！这个结论被称为“阿罗不可能定理”，其确切表述如

7、下：　　当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。　　阿罗还指出了多数规则的一个根本缺陷，那就是在实际决策中往往导致循环投票。例如，假设有A、B、C三人针对x、y、z三种选择方案进行投票，其投票次序如下表：　　表1　　　投票悖论　　投票者　对不同选择方案的偏好次序　　A　　　　　x　　　　y　　　　z　　B　　　　　y　　　　z　　　　x　　C　　　　　z　　　　x　　　　y　　在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。不难看出，大多数人是偏好x胜于y，同样大多数人也是偏好y胜于z。按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的，即

8、大多数人偏好x胜于z。但实际上，大多数