当时我就震惊了：无穷带来各种悖论

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1、当时我就震惊了：无穷带来的各种悖论无穷悖论无穷个房间能住多少个客人？芝诺悖论球与花瓶希尔伯特旅馆悖论（Hilbert'sparadoxofGrandHotel）希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间搬到3号房间⋯⋯n号房间搬到n+1号房间，你就可以住进1号房间了。”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。我让1号房间的客人搬到2号房间，2号搬到4号，3号搬到6号⋯⋯n号搬到2n号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。”这就

2、是德国大数学家大卫·希尔伯特（DavidHilbert）提出的著名悖论。每个学过集合论的学生，都应该“拜访”过这个奇妙的希尔伯特旅馆。虽然人们把它叫做一个“悖论”，它在逻辑上却是完全正确的，只不过大大出乎我们的意料罢了。一扯上无限，有趣的事说也说不完。意大利数学家伽利略（GalileoGalilei）在他的最后一本科学著作《两种新科学》（TwoNewScience）中提到一个问题：正整数集合{1,2,3,4,⋯⋯}和平方数集合{1,4,9,16,⋯⋯}哪个大呢？一方面，正整数集合里包含了所有的平方数，前者显然比后者大；可另一方面，每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数，

3、两个集合大小应该相等才对。伽利略比较早地使用了一一对应的思想，可惜没有沿着这个思路更进一步思考下去。最后他得出的结论就是，无限集是无法比较大小的。说到这里，我们不得不提到德国另一位伟大的数学家乔治·康托（GeorgeCantor），他建立了集合论（settheory），并系统地研究了集合（尤其是无穷集合）的大小，只不过这个大小不是简单地叫做“大小”了，而是叫势（cardinality）。如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系，我们就说它们等势，这也是我们比较集合大小的方式。希尔伯特悖论形象地说明了正整数集合和正偶数集合是等势的。一切和自然数集合等势的集合都称为“可数集合

4、”（countableset），否则就叫做“不可数集合”（uncountableset）。托里拆利小号（Torricelli‘sHorn）又到几何悖论时间了。上面这个小号状的图形有什么特点？意大利数学家托里拆利（EvangelistaTorricelli）将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形（注意，上图只显示了这个图形的一部分）。然后他算出了这个小号的一个十分牛B的性质——它的表面积无穷大，可它的体积却是π。这明显有悖于人的直觉：体积有限的物体，表面积却可以是无限的！换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍

5、，却需要无限多的油漆！类似的二维几何悖论中，最著名的要属“科赫雪花”（KochSnowflake）了。科赫雪花是一种经过无穷多次迭代生成的分形图形，下图就是前三次迭代的过程，迭代过程的极限便是科赫雪花了。它也有一个类似的性质：它的面积有限，周长却是无限的。用无限的周长包围了一块有限的面积，真是另类的“无中生有”啊！芝诺悖论（Zeno'sparadoxes）芝诺悖论是由古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出的一组悖论。其中的几个悖论还可以在亚里士多德（Aristotle）的《物理学》（Physics）一书中找到。最有名的是以下两个。阿基里斯与乌龟的悖论（Achillesandthe

6、tortoiseParadox）：在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。二分法悖论（DichotomyParadox）：运动是不可能的。你要到达终点，必须首先到达全程的1/2处；而要到达1/2处，必须要先到1/4处⋯⋯每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。其实，你根本连动都动不了，运动是不可能的。罗素（BertrandRussell）曾经说

7、过，这组悖论“为从他那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间以及无限的理论提供了土壤”。阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德（AlfredNorthWhitehead）这样形容芝诺：“知道芝诺的人没有一个不想去否定他的，所有人都认为这么做是值得的”，可见争议之大。无数热爱思考的人也被这些悖论吸引，试图给这些出人意料的结论以合理的解释。当古希腊哲学家第欧根尼（Diogenes）听到芝诺的“运动是不可能的”这个命题时，他开始四处走动，以证明芝诺的荒谬，可他并没有指出命题的证明错在哪里。亚里士多德对阿基里斯悖论的解释是：当追赶者