初等数论 质数模同余式

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1、§4．质数模的同余式首先考虑质数模同余式其中p是质数，而an≡0(modp).定理1同余式(1)与一个次数不超过p-1的质数模同余式等价.证明：由多项式的带余试除法知有二整系数多项式及使且的次数不超过.由费马定理知，对任何整数x来说.因此（1）与等价。定理2设k≤n，而x≡ai(modp)(i=1,2…,k)是(1)的k个不同解，则对任何整数x来说，其中fk(x)是n-k次多项式，首项系数是an证明：由多项式带余除法得,其中是首项系数为的n-1次多项式而r是一常数.由假设，.故.因此对任何整数x都有令得但，而是质数，故由此，显然可以用归纳法证明我们的定理定理3(1)对任何整数x来

2、说，(2)(Wilson定理)定理4同余式(1)的解数不超过它的次数.证明：我们用反证法。设（1）的解数不超过n个，则（1）至少有n+1个解，设为由定理2得;由于但p为质数，,故有一使得，这与假设矛盾。补充例子：1．解同余方程：(ⅰ)3x11+2x8+5x4-1º0(mod7)；(ⅱ)4x20+3x12+2x7+3x-2º0(mod5)。解：(ⅰ)原同余方程等价于3x5+5x4+2x2-1º0(mod7)，用x=0，±1，±2，±3代入知后者无解；(ⅱ)原同余方程等价于2x4+2x3+3x-2º0(mod5)，将x=0，±1，±2代入，知后者有解xº±1(mod5)。2．判定(ⅰ

3、)2x3-x2+3x-1º0(mod5)是否有三个解；(ⅱ)x6+2x5-4x2+3º0(mod5)是否有六个解？解：(ⅰ)2x3-x2+3x-1º0(mod5)等价于x3-3x2+4x-3º0(mod5)，又x5-x=(x3-3x2+4x-3)(x2+3x+5)+(6x2-12x+15)，其中r(x)=6x2-12x+15的系数不都是5的倍数，故原方程没有三个解；(ⅱ)因为这是对模5的同余方程，故原方程不可能有六个解。