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1、特征向量和奇异向量的扰动界刘干中（广州电大增城分校，广东增城511300）摘要：本文主要研究利用残余量来确定特征向量和奇异向量的加法绝对扰动界及其相对扰动界。关键词：特征向量；奇异向量；扰动界；正交投影中国分类号：0151.24文献标识码：A文章编号：1008—3006（92001）03—0053—03一、引言矩阵的扰动分析理论是当前国际上数学界学术研究的热点之一。它包括特征值与奇异值的扰动分析，特征空间与奇异空间的扰动分析以及最小二乘问题的扰动分析等。若是一个精确的数据，而是的一个近似值（比如
2、是通过计算机算出来的）。研究
3、-
4、误差界称为绝对误差界（或称为绝对扰动界）。研究的误差界称为相对误差界（或相对扰动界）。目前许多学者在从事有关相对扰动界的研究（见[3][4][5]）。本文主要给出近似特征向量和近似奇异向量的加法绝对扰动界及它们的相对扰动界。本文使用的符号：表示A的共轭转置，
5、
6、A
7、
8、表示矩阵A的谱范数或向量的Eudlidean长度，表示的Moore–Penrose逆，k(Y)=
9、
10、
11、
12、
13、
14、Y
15、
16、表示Y的谱条件数，range(Y)表示Y的列向量张成的子空间，range表示rang
17、e(Y)的正交补空间。二、特征向量的扰动界设A是可对角化矩阵，A的谱分解为，其中，为A的特征值。给定一个实数是A的近似特征值，向量为与相对应的A的近似单位特征向量，即
18、
19、
20、
21、=1。我们主要确定的误差界。我们将A特征值进行分块，使得包含所有与距离最近的特征值，包含其余的特征值：即s其中
22、
23、-
24、
25、=。定义是与的绝对分离度。我们将对X做相应的分块，把看作似在上的特征向量。要估计与的接近程度，我们测量与之间的最大主角。在一定义正交投影，若，则。那么是在的正交投影，故。引理1[1,sec.6]若A为可对角
26、化矩阵，即：，则其中若和是A+E的特征值和其相应的特征向量时，即：，则有下面的近似特征向量的加法绝对扰动定理1。定理1若A为可对角化矩阵，即：且，则证明：由故再由引理1可知结论成立，证毕。下面我们得出近似特征向量加法的相对扰动界定理。定义相对分离度为定理2若A为可对角化矩阵，即：且A为非奇异的，则证明：由可得从而有上式两边左乘以得故因此有所以定理结论成立。证毕。三、奇异向量的扰动界设A是矩阵，A的奇异值分解为，其中，为A的奇异值，U和V都为酉矩阵。给定一非负数是A的近似奇异值，扰动向量和分别为A
27、的近似左奇异单位向量和右奇异单位向量，我们主要是确定和的误差界。我们将A的奇异值进得分块，使得包含所有与距离最近的奇异值，包含其余的奇异值；即，其中。定义是与的绝对分离度。我们对U和V做相对应的分块。把看作为近似在上的左奇异向量。要估计与的接近程度，同样我们测量与之间的最大主角。在正义投影。那么是在的正交投影，故对同样有其中与之间的最大主角为，。定理3A是阶矩阵，且分别是A的左，右极因分解，则其中，。证明：L设是A的奇异值分解，其中：是酉矩阵，如（3.1）所示，则可知Q=UV，，。则的特征值是A
28、的奇异值，所以，是的近似特征值和与之相对应的近似特征向量，、是的近似特征值和与之相对应的近似特征向量，再注意到，利用定理1即可知结论成立，证毕。运用定理2的相类似的证法可得定理3的相对扰动界。定理4A是非奇异矩阵，其它条件与定理3相同，则，，其中：。参考文献：[1]C.DavisandW.Kahan,songnewboundsonperturbationofsubspaces,Bull.Amer.Math.Soc,75(1069),pp.863-868.[2]S.C.EisenstatandI.
29、C.F.Ipsen,Realtiveperturbationresultsforeigenvaluesandeigenvectorsofdiagonalizablematrices,SIAMJ.MATRIXANAL.APPL,2(1998),NO.1,pp.149-158.[3]S.C.EisenstatandC.F.Ipsen,Threeabsoluteperturbationboundsformatrixeigenvaluesimplyrelativebounds,SIAMJ.MATRIXA
30、NAL.APPL,20(1998),NO.1,pp.149-158.[4]Re-SignIrrelativeperturbationtheory.Ш.Moreboundsoneigenvaluevariation,LINEARALGEBRAANDITSAPPLICATIONS,266:337-345(1997).[5]LatkeDragoonrelativeresidualboundsfortheeigenvaluesofahermitIanmatrix.LINEARALGEBRAANDAPPL
