gt-09071245-匹配问题和其应用

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1、匹配问题及其应用图的匹配：设是一个图。边子集使中任意两条边都没有公共顶点，则称为图的匹配。匹配中边的端点称为饱和点，否则称为非饱和点，饱和点也称为是被匹配覆盖的顶点。图中边数最多的匹配称为图的最大匹配。覆盖图的所有顶点的匹配称为图的完美匹配。一个图称为二部图，若它的顶点集合可划分为两个部分和使而，并且它的任一条边满足两个端点分别在和中。换言之，和中没有边连接任意两个顶点。我们也称这样的顶点集为图的独立集。例如左图中有完美匹配，它是由边组成，而右图没有完美匹配，也没有覆盖的匹配。其中是它的一个匹配，但不是最大匹配。不难找到它的最大匹配有4条边，如果右图代表5个小伙子

2、和6个姑娘的认识关系，那么在这种情况下不可能使每个小伙子找到一个他所认识的姑娘结婚。如果匹配问题仅仅用在所谓的“婚姻问题”上，那么它就没有太大的意义。匹配问题在实际中有许多用处。最广泛应用的是工作分配问题。霍尔定理设是二部图，则中存在覆盖中所有顶点的对集当且仅当对的任意子集都有,其中表示中顶点在中邻点的集合。最大匹配定理图的匹配是最大匹配当且仅当中不存在关于的增光路。注意该定理对任意图都成立，这样就可以用来寻找增光路的方法找到图的最大匹配，从而可以判断一个二部图是否有覆盖顶点集的匹配。覆盖的匹配一定是二部图的最大匹配。下面给出求二部图的最大匹配的算法，该算法也称为

3、匈牙利算法。第0步给定二部图，令是的任意匹配。中的顶点都没有标号。第1步（标号）第1.0步在中对每个非饱和点标号第1.1步如果不存在未检查的标号点，转第3步。否则，找一个未检查的标号点，如果，转第1.2步；若，转第1.3步。第1.2步检查点，对每个同关联的边，若是未标号点，给点标号，转第1.1步。第1.3步检查点，若是非饱和点，转第2步，否则设是同关联的属于的边，给点标号，转第1.1步。第2步（增广）终止点的一条增广路被找到，通过倒向追踪找出增广路。令代替，抹去所有标号，转第1.0步。第3步（匈牙利标号）标号是匈牙利标号，没有增光路存在。由最大匹配定理知是图的最大

4、匹配，算法停止。下面来看一个求右图的最大匹配的例子。如下图(a)所示，取初始匹配,令是中的不饱和顶点，给中的点标号。任取点3，检查点3，有边38使8是未饱和点，得到增广路，新的匹配，抹去所有标号重新开始，如图(b)所示，这时中的不饱和顶点集为。取点5检查，这时和点5邻接的点都是饱和点。我们选点8，给点8标号(5),考虑中的边38，给顶点3标号(8)，检查点3，考虑边36,6是未饱和点，给点6标号(3).通过标号倒向追踪找到增广路，得新的匹配。如图(c)所示，中的未饱和点只有点1，给点1标号，检查点1，考虑边17，给点7标号(1)，检查点7，给点2标号(7)，检查点

5、2，给点8标号(2)，检查点8，给点5标号(8)。标号而未检查的点是点5，检查点5，和点5关联的边是57,58和510，其中58是中的边。而点7已标号，考虑点10，给它标号(5)，再检查点10，和点10关联的只有边只有410，给点4标号(10)，检查点4，和它邻接的顶点10已有标号。所有标号的点已检查过，标号无法继续进行。因此图中的标号是匈牙利标号，算法结束。图(c)中粗线所示的边构成一个最大匹配。这时图没有覆盖中所有顶点的匹配。一般说来，一个图的最大匹配不是唯一的。前面我们给出的算法只能用来求二部图的最大匹配。下面我们给出一个判定图是否有完美匹配的判定方法。塔特

6、定理一个图有完美匹配当且仅当对图的任意顶点子集有图的奇分支数不大于中的顶点数，其中表示从图中删去顶点集及其关联的边所得的图，图的奇分支是指有奇数个顶点的连通分支。匹配理论在实际中有许多应用，例如下面的两个实例。1.设表示个人的集合，表示由这个人中的某些人组成的组织。问能否从这个组织中各选出一个人来代表这个组织参加会议使个人是不同的？2.设有个人，有件工作，每件工作需要两个人协作完成。这个人中有的互相认识，有的互相不认识。问是否存在一种安排，使每件工作都能有两个互相认识的人去协作完成？这两个问题都可用图论的方法来解决。对于例1中的问题，构造一个二部图使，，当且仅当表

7、示的人在组织中。这样是否存在个不同的人代表个组织的问题就化为求这个图是否有覆盖的顶点集的匹配问题。我们可以用霍尔定理来判断，也可用匈牙利算法具体找到是否存在这样的个人。这个问题通常也称为相异代表系问题。一般的提法是给定有限集合，是的子集族，即，问是否存在中的个不同元素，使？。对于例2，它可以化为一般图的完美匹配图。作图，使顶点集合之间连一条边当且仅当互相认识。图就表示出这2n个人的相识关系。存在一个安排方案使两个互相认识的人去完成一件工作当且仅当图有完美匹配。例1判断如下二部图是否存在完美匹配。解：从一个初始匹配（图1中粗边）出发，执行匈牙利算法。因尚未饱和，找到

8、中一个未饱