解析几何创立

《解析几何创立》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、解析几何的诞生近代数学本质上可以说成是变量数学。文艺复兴以来资本主义生产力的兴起，对科学技术提出了全新的要求，机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等；总之，到了十六世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种左边在平面上的点和有序实数对(x,y)之间

2、建立一一对应的关系。每一对实数(x,y)都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标(x,y)，以这种方式可以将一个代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过，古希腊阿波罗尼乌斯(apollonius,约bc262~bc190)关于圆锥曲线性质的推导、阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴涵这种思想。解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆(nicoleoresme,1323~1382)，他在《论形态

3、幅度》这部著作中提出的形态幅度原理（或称图线原理），甚至已接触到直角坐标系中用曲线表示函数的图象，在这里，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来叙述他的图线，相当于纵坐标与横坐标。不过他的图线概念是模糊的，至多是一种图表，还未形成清晰的坐标与函数图象的概念，是解析几何的酝酿阶段。解析几何的真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿(r.descartes,1596~1650)与费尔马(p.defermat,1601~1665)。他们工作的出发点不同，但方式都是采用代数方法来研究几何问题。笛卡儿的工作是由于他的机械哲学的需要而形成的。

4、1637年他发表了著名的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(discoursdelaméthodepourbienconduiresaraison,etchercherlavéritédanslessciences，1637)，该书有三个附录：《几何学》、《折光》和《陨星》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。其发明与著名的古希腊数学问题即所谓的帕普斯(pappus)问题有关。四世纪希腊数学家帕普斯提出这样的一个轨迹问题：设在平面上给定3条直线l1、l2和l3，从平面上的点c作点作三条直线分别与l1、l2、l3交于p、r、q

5、，交角分别等于已知角a1、a2和a3，求使cp·cr=kcq2的点c的轨迹。如果给定四条直线（如图5.2），则求使的c点的轨迹。这一问题称作帕普斯四直线问题。问题还可以类似地推广到n条直线的情形。帕普斯曾宣称，当给定的直线是三条或四条时，所得的轨迹是一条圆锥曲线。笛卡儿在《几何学》第二卷中，证明了四直线问题的帕普斯结论。他的做法是这样的：记ap为x，pc为y，经简单的几何分析，他用已知量表出cr、cq和cs的值，代入cp·cr=cs·cq，就得到一个关于x和y的二次方程：y2=ay+bxy+cx+dx2(*)其中a、b、c、d是由已知量组成的简

6、单代数式。于是他指出，任给x一个值，就得到一个关于y的二次方程，从这个方程可以解出y，并根据他在《几何学》第一卷中所给的方法，用圆规直尺将y画出。如果我们取无穷多个x值，就得到无穷多个y值，从而得到无穷多个点c，所以这些点c的轨迹就是方程（*）代表的曲线。在这个具体的问题中，笛卡儿选定一条直线（ag）作为基线（相当于一根坐标轴），以点a为原点，x值是基线的长度，从a点量起；y值是另一条线段的长度，该线段从基线出发，与基线交成定角。正是于此，笛卡儿建立了历史上第一个倾斜坐标系。在《几何学》第三卷中，我们还可以看到笛卡儿也给出直角坐标系的例子。有了

7、坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：曲线的次数与坐标轴选择无关；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；以及曲线的分类等等。《几何学》作为笛卡儿哲学著作《方法论》的附录，意味着他的几何学发现乃至其它方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。其方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他认为在一切领域中可以建立一种普适的推证真理的方法，这个方法就是数学方法，称之为“通用数学”。因为立足于公理之上的证明是无懈可击的，而且数学方法超乎其对象，是一个知识工具。同时他认为，代数具有作为一门普遍的科

8、学方法的潜力，强调了代数的一般性以及它在推理程序机械化和减小解题工作量方面的价值。他由此出发提出一种大胆的计划，即：任何的问题→数学问题→代数问题→方