利用导数证明不等式

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1、利用导数证明不等式第一篇：利用导数证明不等式利用导数证明不等式没分都没人答埃。。觉得可以就给个好评!最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x).对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于0.这样就能说明原不等式了成立了!1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)设函数f(x)=x-ln(x+1)求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数f(x)>f(1)=1-ln2>o所以x>ln(x+12..证明：a-a>

2、;0其中0f(a)=a-af'(a)=1-2a当00;当1/2因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0即有当003.x>0,证明：不等式x-x/6先证明sinx因为当x=0时，sinx-x=0如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，求导数有sinx-x的导数是cosx-1因为cosx-1≤0所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，知sinx再证x-x³/6对于函数x-x³/6-sinx当x=0时，它的值为0对它求导数得1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点

3、的值是最大值了。要证x²/2+cosx-1>0x>0再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0再次对它求导数得x-sinx根据刚才证明的当x>0sinxx²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0x²/2-cosx-1<0x>0所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0得x-x³/6利用函数导数单调性证明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立令f(x)=x-x²x∈则f'(x)=1-2x当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增当x

4、∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值为零故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。i、m、n为正整数，且1第二篇：利用导数证明不等式克维教育（82974566）中考、高考培训专家铸就孩子辉煌的未来函数与导数（三）核心考点五、利用导数证明不等式一、函数类不等式证明函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的问题转化为证明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），进而构造辅助函数h(x)?f(x)?g(x)，然

5、后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1、已知函数f(x)?lnx?ax2?(2?a)x（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设a?0，证明：当0?x?111时，f(?x)?f(?x)；aaa（3）若函数f(x)的图像与x轴交于a、b两点，线段ab中点的横坐标为x0，证明：f`(x0)?0【变式1】已知函数f(x)?ln(x?1)?x，求证：恒有1?1?ln(x?1)?x成立。x?1x【变式2】（1）x?0，证明：e?1?xx2?ln(1?x)(2)x?0时，求证：x?2二、常数类不等式证明常数类不等式证明的通法可概括

6、为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式f(a)?f(b)的问题，在根据a,b的不等式关系和函数f(x)的单调性证明不等式。例2、已知m?n?e,，求证：n?m例3、已知函数f(x)?ln(x?1)?（1）求f(x)的极小值；（2）若a,b?0，求证：lna?lnb?1?mnx，1?xba【变式3】已知f(x)?lnx，g(x)?127，直线l与函数f(x)、g(x)的x?mx?（m?0）22图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1．（ⅰ）求直线l的方程及m的值；（ⅱ）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g?(x)是g(x)的导函数），求函数h(x)的最大值

7、；（ⅲ）当0?b?a时，求证：f(a?b)?f(2a)?b?a．2a【变式4】求证：b?ab?lnba?b?aa(0?a?b)1?x)?x?0(x??1)【变式5】证明：ln(ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)【引申】求证：2?2???2?(n?2,n?n*)23n2(n?1)【变式6】当t?1时，证明：1??lnt?t?11tx21(x?1)，各项不为零的数列?an?满足4sn?f()?1，【引申】已知函数f(x)?an2(x?1)1n?11（1）求证：