函数的对称性

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1、专业资料精心整理函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函

2、数;⑿耐克函数;⒁绝对值函数：这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称。⒂形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性，我们称其为互对称。】1、函数图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①的图象关于直线对称下载可编辑专业资料精心整理②的图象关于直线

3、对称.特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.（2）中心对称①的图象关于点对称。②的图象关于点对称.特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.（3）对称性与周期性之间的联系①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；特别地：若是偶函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数；②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期；③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为

4、；且函数为周期函数，周期。特别地：若是奇函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。典例精讲关于直线对称例1.（★★）已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝．例2.（★★）已知函数对一切实数x满足条件，已知时，，下载可编辑专业资料精心整理求时的解析式.巩固练习（自对称）1.（★★）已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则.2.（★★）设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是（）3.（★★）设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，，求时，的解析式.例3.（★★）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称

5、，则A．B．C．D．例4.（★★）已知函数，函数与的图像关于轴对称，求函数在区间上的最值.巩固练习1.（★★）若函数图像与函数的图像关于直线对称，则＿；2.在同一直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是（）．；．；．；．．3.若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为下载可编辑专业资料精心整理4.（★★）函数的反函数的图象大致是（A）（B）（C）（D）关于点对称例5.（★★）已知函数满足：，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于点对称例6.（★★）设，函数的图像与函数的图像关于

6、点对称．求函数的解析式．练习1.（★★★）是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．7B．3C．4D．52.（★★）已知函数f(x)＝的反函数的图象的对称中心是(1，)，则函数g(x)＝的单调递增区间是；下载可编辑专业资料精心整理函数对称性与周期性的联系例7.（★★）若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.①求的周期；②证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称,;③讨论在上的单调性；练习1.（★★）设是定义在R上的奇函数,的图象关于直线，则.2.（★★）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）(A)－1(B)0(C)1(D)2

7、3.（★★）设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________练习1.函数与函数的图象关于关于__________对称。2.设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。3.设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。4.已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5下载可编辑专业资料精心整理个实根之和为（）A、5B、10C、15D、185.函数定义域为R，且恒满足和，当时，，求解析式。总结现在，总结一下本节课的收获吧？函数图像的对称性1、(1)一个图关于点对称：(