极点与系统稳定性

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1、专业资料极点对系统性能影响一．控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s）=Xo（s）/Xi（s），其中Xo（s）、Xi（s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。使传递函数分母等于零即得到系统的特征方程，特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S﹚=C[∏（S-Pi）/∏

2、(S-Qi)]中Q1Q2Q3……Qi……即为系统的极点。二．极点对系统的影响极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析：⑴连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为：将H(S)进行部分分式展开：学习资料专业资料系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。稳定性：由上述得知Y(S)=C[∏（S-Pi）/(S-Qi)]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+C2/(S-τ2)+C3/(S-τ3)+……+Ci/(S-τi)+……则时间响应

3、为……由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。通过复变函数幅角定理将S由G平面映射到GH平面。如果封闭曲线F内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s沿F顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R为z和p之差，即R＝z－p。若R为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是Ø(s)的分母，即Ø(s)的特征多项式，其零点是Ø(s)的极点。

4、取D形曲线（D围线）如图所示，是整个右半复平面。且设D曲线不经过F(s)的任一极点或零点。s沿D曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为：n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数)-F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数)所以闭环系统稳定的充分必要条件是：n=-p=-开环传函在右半复平面的极点数学习资料专业资料因此：反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数，且有N=N+－N-其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。其中N-为：负穿

5、越与半次负穿越次数的和。正穿越：随着w的增大，开环Nyquist曲线逆时针穿越实轴区间(-¥,-1)。半次正穿越：逆时针方向离开（或中止于）实轴区间(-¥,-1)。负穿越：随着w的增大，开环Nyquist曲线顺时针穿越实轴区间(-¥,-1)。半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(-¥,-1)。若开环传递函数有积分环节，开环Nyquist曲线在w=0＋时，幅值无穷大，而相角为。判断稳定性要求w=0开始逆时针补半径为无穷大，角度为的虚线圆弧。在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为Nyquist曲线的一部分。(-1,j0)w同样其他稳定性的判别由劳斯判据和赫尔维兹判据波的图判据

6、等原理相同。都是由特征方程推出S根没有复实部。总结：1.如系统函数H(s)的全部极点落于S域左半平面，则系统稳定。2.如系统函数H(s)有极点落于S右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定。3.若系统函数H(s)没有极点落在右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则系统临界稳定。4.系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次。⑵离散系统离散系统稳定性原理与连续系统一样，由于离散系统本身特征稍有改，学习资料专业资料离散信号是脉冲序列即时间上离散，离散信号是数字序列即幅值上整量化。G(s)因此引入Z变换取代拉斯变换只适用与连续函数，离散时间序列x(n)的Z变换定义为X(z)

7、＝Σx(n)z-n，常用序列的Z变换中z＝e，σ为实变数，ω为实变量，j＝，所以z是一个幅度为eб，相位为ω的复变量。x(n)和X(z)构成一个Z变换时。理想的单位脉冲序列：采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波信号，调制过程可以表示为：则：Z变换为：定义：则：由以上定义得知Z变换，则如何从S平面映射到Z平面：学习资料专业资料当s<0，则对应在s左半平面，系统稳定映射到Z平面上对应在Z平面的单位圆内，脉冲系统稳