全国初中数学竞赛辅导（初2）第27讲 列方程解应用问题中的量与等量

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1、第二十七讲列方程解应用问题中的量与等量　　列方程解应用问题时，比较困难的一环常常是同学们不知如何着手去找等量关系．又由于应用问题类型繁多，等量关系千变万化，什么工程问题，行程问题，浓度问题，等等，如果每一种问题都来考查一下找等量关系的规律，这不仅太繁杂，而且罗列也不是真正的概括．那么根据什么原则来找出应用问题中的等量关系、列出方程呢？　　为此，我们必须先对“量”做个基本的分析和介绍，只有对量有了比较明确的认识，才便于了解“等量”，那么找等量关系也就有了依据．所谓“量”就是表现物体属性的一个侧面．例如拿一根金属棒来说，为了

2、弄清它的性状，就要知道这根金属棒的重量、长度、体积、密度、比重、价格，等等，这些方面都是从一定的侧面来表现物体不同属性的，这就是所谓的量．　　一般说来，常用的量基本上可以分为两大类．例如，一群羊、一堆蛋等，因为它们具有天然的个别单位，所以处理这种量只要数一数它们的个数1，2，3，…就可以了．这种量我们称它为分离量，分离量的特点是可数的．另一种量，例如一根绳子的长度，一桶水的重量等，长度和重量这种量虽然不具有天然的个别单位可数，但这种量的基本特点是它们可以无限细分，因此我们可以选取人为的单位去度量它们．比如，度量长度，我们

3、可以选用米或厘米作为长度单位；度量重量，我们可以选用千克或克等作为重量单位．取定了度量单位之后，就可以度量这种量的多少了．我们称这种量为连续量，它的一个基本特点是可以度量．　　在连续量之中，例如长度、面积、体积、重量、时间等等，这些量既可以细分又可以广延，我们称这种量为外延量．连续量中的另一类是由两种外延量之比产生出来的，用以表示“强度”，这种量称为内涵量．例如表示单位面积上承受多少压力的“压强”就是一个内涵量．这是因为　　它是由两种外延量(压力和面积)之比得来的．　　如果把内涵量再分类，又可以分为两种，其中一种是由不同

4、种外延量之比产生的量，我们称它为度．例如　　等等都是度．　　另外一种内涵量是由两个同种外延量之比得来的，我们称它为率．例如　　等等都是率．　　这样，可以把常见的量的分类归纳如下：　　我们对量有了一定的了解之后，从量的种类入手，找等量关系，就有了可以遵循的基本原则和方法了．　　第一，因为分离量不能和连续量相等，外延量不能和内涵量相等，度不能和率相等，因此，等量关系只能在同种量中寻找，即分离量=分离量，外延量=外延量，度=度，率=率．　　第二，因为分离量和外延量是可加的，所以如果要确定分离量或外延量的某种相等关系，便可以利用

5、“全量=部分量之和”(它的推理是“部分量=全量的一部分量”，“部分量之和=部分量之和”，特例是“全量=全量”)的原则．　　第三，因为度和率是两种外延量之比，如果要确定的是度或率的某种相等关系，只须找到同一个度或率的两种不同表达式，然后用等号连接起来就可以列出方程了．我们把这种思考方法叫作度或率的等比表示法．　　下面通过几个实例来说明上述原则和方法的运用．　　例1设A，B两地相距82千米(km)，甲骑自行车由A向B驶去，9分钟(min)后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2千米的速度向A驶去，两人在距B地40千米处相遇，问

6、甲乙的速度各是多少？　　分析与解首先我们列出题中的各种已知量和待求的量：　　(1)A，B两地的距离是82千米；　　(2)甲乙两人相向而行，甲比乙先行9分钟；　　(3)每小时乙比甲多走2千米；　　(4)两人相遇地点距B地40千米；　　(5)求甲乙的速度．　　其次，就要设一个适当的未知量，并把它看作“已知量”，根据题中所给的条件，把已知量和未知量联系起来，找等量关系列方程．为此，我们可有不同的思考方法．　　第一，可以从外延量考虑等量关系．本题中，时间、距离都是外延量．比如，我们考虑时间这个外延量，那么如何找出本题中有关时间的

7、一个等量关系呢？因为甲乙中途相遇，那么自然要问甲由A出发到与乙相遇走了多少时间？乙由B出发到与甲相遇走了多少时间？这两者又有什么关系？联系已知条件，利用全量=部分量之和可知　　甲由A出发到遇到乙的时间=乙由B出发到遇到甲的时间+9分钟，①　　又考虑到　　如果设甲的速度为x千米/小时(km/h)，那么乙的速度为(x＋2)千　　　②的解是x=30千米(方程②的解法留给读者)，所以甲的速度是每小时行30千米，乙的速度是每小时32千米．　　第二，也可以从内涵量找等量关系．在本题中，速度就是个内涵量，以速度来找等量关系，就是寻找甲

8、的速度和乙的速度之间的关系问题．由已知条件可知，乙每小时比甲多走2千米，即甲的速度=乙的速度-2，③　　因此，如果设甲与乙相遇时正好走了x小时，那么乙遇甲时走了　　时．由③式，可知甲的速度的另一种表示法是乙的速度-2，即　　　　　　　　　乙的速度为32(千米/小时)．　　在以上两种找等量关系的思考方法中，第一种方法，