直线和圆方程专题讲座

《直线和圆方程专题讲座》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、直线和圆的方程专题讲座一、求最值问题若ai＞0（i=1，2，…，n），则有≥（1）当a1+a2+…+an=s（常数）时，积a1·a2……an有最大值为()n，当且仅当a1=a2=…=an时取得.（2）当a1·a2……an=p（常数）时，和a1+a2+…+an有最小值有n，当且仅当a1=a2=…=an时取得.利用此公式求最值，按大纲要求只需掌握n=2时的情形.同时在应用时需注意以下三点：（1）作和或作积的数必须都为正；（2）若求和的最小值，则它们的积必须是一个常数，而若求积的最大值，则它们的和必须是一个常数；（3）在允许范围内这几个数能达到相等。【例1

2、】求下列函数的最值.（1）y=；（2）y=.分析此类题一般用判别式求最值，其实，应用二元均值不等式也能予以解答。解（1）当x=0时，y=0，当x≠0时，==≤∴－≤y≤当且仅当=()，即x=±2时，等号成立.∴ymin=－，ymin=（2）易知函数的定义域是R.y==1－.①当x＞0时，1＞y=1－≥1－=即当x=2时，y=；②当x=0时，y=1；③当x＜0时，1＜y=1+≤即当x=－2时，y=7.综合以上知，ymin=7，ymin=说明将函数解析式变形以出现“x+”是活用平均值不等式求最值的前提.事实上，对于（2），若令x=2tanθ，则有y==.

3、由此确定这个三角函数的最值也很容易.【例2】已知x，y∈R+，且2x+y=1，求证：+的最小值为3+2.分析注意到条件中给出1+2x+y，而所要求证的不等式左边+中的也含有1，故可将已知条件作逆向代换，即把1换成2x+y，可使问题得到巧妙的解决.解∴+=+=2+++1=2++∵y∈R+∴+≥2=2∴+≥3+2当且仅当=，即x=，y=－1时取“=”.二、判别式法的应用【例1】已知a，b，c∈R，a+b+c=0，求证：a，b，c中至少有一个大于.证明：∵abc=1＞0∴a，b，c要么同正，要么有两个数为负，另一个数为正。∵a+b+c=0，∴a，b，c不能

4、同正.可设a＞0，b＜0，c＜0，只需证明a＞即可.∵b+c=－a，bc=，∴b，c是一元二次方程x2+ax+=0的两个负实根.∴△=a2－≥0，即a3≥4.∴a＞＞=∴a，b，c中至少有一个大于.说明作此题前要将条件分析好，即由a+b+c=0知a，b，c不能都大于零，只能其中有两个数为负，一个数为正，这样，只需证明为正的那个数大于即可。【例2】已知x+y+z=5,x2+y2+z2=9中，得x2+(y－5)x+y2－5y+8=0，∵x∈R,∴△≥0，即(y－5)2－4(y2－5y+8)≥0，解得1≤y≤即y∈[1，]同理可证x∈[1，]z∈[1，]说

5、明在用判别式法证不等式时，要注意“主元”的取值范围.三、直线系直线系指的是具有某种共同性质的直线的集合。利用直线系理论来解决有关问题时，常常显得简捷明快，所以灵活运用直线系知识是重要的解题方法和技巧之一。（一）平行直线系Ax+By+λ=0是平行于直线Ax+By+C=0的平行直线系（其中λ为常数，当λ=C时，两直线重合）.Bx－Ay+λ=0是垂直于直线Ax+By+C=0的平行直线系.【例1】求过点P（1，1）且分别与直线3x－5y+4=0平行或垂直的直线方程。解将点P的坐标（1，1）分别代入3x－5y+λ=0及5x+3y+u=0，得λ=2，u=－8。故

6、与已知直线平行的直线为3x－5y+2=0，与已知直线垂直的直线为5x+3y－8=0.（二）过两直线交点的直线系【例2】过直线：2x+y+8=0和x+y+3=0的交点作一直线，使它夹在两直线x－y－5=0和x－y－2=0之间的线段长等于3，求此直线方程.解如图7—33，两平行线x－y－5=0与x－y－2=0间的距离u=∵所求直线被这两行线截下的线段为3=d∴所求直线与这两平行线夹角为450又x－y－5=0的倾角为450，∴所求直线倾角为00与900∵过2x+y+8=0和x+y+3=0的交点，求所求直线方程为：2x+y+8+λ(x+y+3)=0，即：(2

7、+λ)x+(1+λ)y+(8+3λ)=0，①令2+λ=0得λ=－2，令1+λ=0得λ=－1代入①式得所求直线方程为y=2或x=－5.图7—33四、对称问题对称分为点对称（中心对称）和轴对称两种，这是中点坐标公式和直线与直线垂直的应用。【例1】求①点P（x，y）②直线l：2x－y+3=0③圆x2+y2=1分别关于点A（1，2）对称的点，直线和圆的方程.解①点P关于点A的对称点P/（x/，y/）则A是PP/的中点，由中点坐标公式∴∴P/(―2―x，4―y)②设l关于点A对称的直线l/上任一点M（x，y）则M（x，y）关于点A（－1，2）的对称点M/(－2

8、－x，4－y)在直线l上，∴2（－2－x）－（4－y）+3=0即2x－4y+5=0③在圆x2+y2=1关于点