授课章节（5号宋字体）

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1、《数学分析（1，2，3）》教案第五章微分中值定理及其应用§1微分中值定理l引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函

2、数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。一费马定理定义1（极值）若函数f在区间上有定义，。若存在的邻域，使得对于任意的，有，则称f在点取得极大值，称点为极大值点。若存在的邻域，使得对于任意的，有，则称f在点取得极小值，称点为极小值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。极值存在的必要条件――费马定理费马定理若函数在点的邻域内有定义，且在点可导。若为f的极值点，则比有。几何意义：可导极值点的切线平行于轴。由费马定理可知,可导极值点是稳定点，反之不然。如,点x=0是稳定点，但不是极值点。二中值定理Lagrange定理若函数f满足以下条件：（1）f在上连续；（2）f在)内可

3、导。则在内至少存在一点，使得。特别地，当时，有如下Rolle定理：Rolle定理若f满足如下条件：（1）在上连续；（2）在)内可导；（3），则存在，使得。如把曲线弧用参数方程函数，则可得出以下中值定理：Cauchy定理若函数，满足如下条件：（1）（1）在上连续；（2）在5-11《数学分析（1，2，3）》教案内可导；（3）。在存在（1）在上连续；（2）在)内可导。使得。说明（1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线；Cauchy：视为曲线的参

4、数；u=f(x)，v=g(x)，x[a,b]，则以v为横坐标，u为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行。（2）三个定理关系如下：（3）三个定理中的条件都是充分但非必要。以Rolle定理为例，三个条件缺一不可。1）不可导，不一定存在；2）不连续，不一定存在；3）f(a)f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有的情形发生。如y=sgnx，x[-1,1]不满足Rolle定理的任何条件，但存在无限多个(-1,1)，使得。（4）Lagrang定理中涉及的公式：称之为“中值公式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)

5、-f(a)=(b-a)，(a,b)；（ⅱ）f(b)-f(a)=，0<<1；（ⅲ）f(a+h)-f(a)=，0<<1.此处，中值公式对ab均成立。此时在a，b之间；（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论a，b如何变化，易于控制。三中值定理的一些推论1、Rolle定理的推论：若f在[，]上连续，在(，)内可导，，则存在，使得（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）。2、Lagrang定理的推论：推论若函数f在区间I上可导，且，，则f为I上的一个常量函数。几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。推论若函数f和g均在I上可导，且，，则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数

6、C，使得。例：设f，在连续可微，在（a,b）二阶可微，且，证明：在(a,b)中至少有一个根。例：设，证明于（0,2）中至少有一根。例：证明：当a>b>0时，。5-11《数学分析（1，2，3）》教案例：证明：，。§2.泰勒公式一利用导数作近似计算1．近似计算前已描述，如果在点可微，则当很小时，有，亦即，当时有（用导数作近似计算公式）。注：导数作近似计算公式常用于：直接计算比较困难，而在点附近一点处的函数值的导数却都比较容易求得。例：求的近似值。例：计算的近似值。把用于具体函数，可得：，，，。2．误差估计实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值。要知道这些数据的准确程度，就必须估计这些数据的近似程

7、度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计。一般地，如果一个量A的近似值为a，那么=

8、A-a

9、叫作绝对误差，而/a叫作相对误差。一般地，对函数，若是由测量得到的，如果由计算时，有误差，则有绝对误差和相对误差。例：测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为0.01cm，试求此直径计算球体积时所起的误差。二泰勒公式不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带