第六章几何变换

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1、下载可编辑习题六（1）1.平行四边形内有点，已知，求证.证明：令，则、、、四点共圆，。2.七条直线两两相交，试证所有交角中至少有一角小于.证明：将七条直线平移并使它们交于一点0，假设所有交角都，则七角角度之和。产生矛盾，假设不成立，所以原命题成立。3.中，，为边上的中线，求证：。证明：令，连交于M,N，则分别是的中点，（均为平行四边形）在中，专业资料精心整理下载可编辑在中4.设为正方形内一点，求正方形的面积.解：令又又5.已知正六边形，分别是边的中点，为的交点,(1)求与的夹角;(2)求证.（1）解：设为正六边形中点专业资料精心整理下载可编辑则有又与的夹角为（2）证明：四边形

2、6.中，斜边，形内一动点到三顶点距离和的最小值为，求这个三角形的锐角。解：令则当共线时三顶点距离和最小为此时，则在中，由余弦定理：专业资料精心整理下载可编辑7.已知长方形的四个顶点和，一质点从的中点沿与交角为的方向射到上的点后，依次反射到和上的点和（入射角等于反射角）。设的坐标为。若，则的取值范围是（）解:坐标为令方程坐标为由入射角等于反射角得方程为坐标为方程为坐标为方程为坐标为，选（C）8.等边内有一点，已知，求的面积。专业资料精心整理下载可编辑解:令,,则其中9.以的边为斜边向形外作等腰直角三角形，为中点，求证专业资料精心整理下载可编辑证明:又为中心反射变换且对称中心为中

3、点，。10.用几何变换证明命题：在正方形中，若，在正方形内，则是正三角形.证明:如图，在正方形内作正三角形则..又重合即,为正三角形.11.相似变换有哪些不变性与不变量？专业资料精心整理下载可编辑答:相似变换保持点与直线的结合关系，以及点在直线上的顺序关系不变,具有同素性.不变量:简单比，两直线夹角大小，两平面图形的面积比等.12．利用位似变换证明，三角形的外心、垂心、重心共线.如图所示,的外心，垂心，重心分别为O、H、G，求证:O、H、G，共线证明:设D、E、F分别为中点,连是三角形外心，是三角形垂心，，.共线.13.过半圆的直径上一点C作，交半圆于，另一圆内切半圆于，切于

4、，求证：共线专业资料精心整理下载可编辑提示：依题意，圆圆。易证是下的一对对应点共线14．各是的边的中点，是内一点，设关于的对称点分别是，又是的重心，求证：交于一点且三点共线证明：由于又是个位似变换所以对应点的连线交于一点则为新位似变换的中心，共线15．用仿射变换证明长半轴为，短半轴为的椭圆的面积为.证明:在圆中令得长半轴为，短半轴为的椭圆专业资料精心整理下载可编辑则.16．证明不存在棱数为的多面体.证明：设多面体有个面最简单的多面体为四面体且有六条棱这多面体的面只能是三角形，否则棱数大于若多面体棱数为7，则多面体中，无整数解这样的多面体不存在17．在下列概念中，哪些属于欧氏几

5、何？那些属于仿射几何?哪些属于射影几何？·三角形，平行四边形，菱形，矩形·直线，圆，抛物线·三角形的高，中线，角平分线解：(1)射影几何:三角形；仿射几何:平行四边形；欧氏几何:菱形,矩形。(2)射影几何:直线；欧氏几何:圆、抛物线；(3)仿射几何:中线；欧氏几何:三角形的高,角平分线.专业资料精心整理