第五讲 振动及波

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1、第五讲　振动与波一、竞赛中涉及的问题（一）简谐运动1．任何机械运动都可用数学方法分解成一系列简谐运动，简谐运动是最基本的机械振动，简谐运动的动力学特点：物体所受回复力与位移反向，大小与位移成正比，即：F=－kx。运动学特点；位移可用时间的正弦函数或余弦函数表示。例1．判断下列各物体的振动是否简谐运动Oxx0(1)2xox（5）xOxθ光滑斜面（2）（3）mOO1MxAOx（4）OBAPtPoωωtxO1vxy其中，（3）是质量均匀的地球通道中的小球，（4）为浮于水面上的木块，（5）为两端开口U型管中的液面A。2．运动规律和参考圆用初等数学方法，不能得出简谐运动

2、物体的V、a变化规律，采用参考圆却能有效解决此问题，任何一个简谐振动，都可看作某一个作匀速圆周运动的参考点在某一直径上的投影的运动，这种想象中的参考点的运动轨迹—参考圆，参考圆半径为A，即为简谐运动物体的振幅，如图，O为振体m的平衡位置，t=0时，x=x0，Vx=V0,相应物在A点，参考圆位置的P0点，t时刻，在Pt点（B点），由图得mmCBxho(b)mmKCB(a)x（1）位移x=Acos(ωt+φ0),（2）速度Vx（3）加速度，其中，是初相角，回复力（4）振幅A—振体离开平衡位置的最大距离，由初始条件t=0时，代入x、vx表达式中，得，解之得A=位相，

3、决定振体运动的状态的变量，是t=0时的初相角N·B！上述方程的原点均取在振体的静平衡位置。(b)mmBCkmmkCB例2：试求下图所示系统的振幅A及初位相，（a）中C与B中吊绳静止时断开，（b第10页）中将物B无初速地放在物C上。3．简谐运动的圆频率，频率与周期（1）圆频率即x、vx、ax表达式中的，由F=－kx=mk1k2k3(c)（2）周期T，T=。（3）频率Amk1k2(b)1k2(a)例3，如图（a）将劲度系数为k的弹簧，按其原长1∶2截断为两根，求由它们组成的(a),(b)两系统的周期，图C中，振动系统的周期又是多少？例4：物体质量m，用弹簧悬吊于长

4、为b的轻质杆上，K1、K2已知,长度a,b已知，求系统振动周期。ak2k1omx例5：求下图(a)－(d)中系统振动周期，(a)，(b)斜面光滑(D)B60ºαoCAABm2LLCo(C)30º30ºLmoα(b)Lmα(a)(c)中AC、BC为两细线,m在垂直于纸面的平面内摆动，（d）中△ABC为等边△，每边杆长L，质量不计。4．简谐运动规律的求解解题思路：（1）判断振体作简谐振动；（2）取物体静平衡位置为坐标原点，直接写出规律，如（3）求，（4）确定初始条件，A、。5.代入运动方程求解。例6：如图，质量均为m的两物用线绳相连，悬于K1，K2两弹簧上，k2k

5、1m求绳断后，剩下物体的运动规律。mkMmhkx例7．如图，M=2kg，k=100N/m，光滑水平面，t=0时，x0=10cm，v0=0，h=1cm高处有一质量m=0.4kg的小物下落，当M沿x轴负向通过平衡位置时，小物恰落在M上且无反弹，试求此后两物体一起第10页运动的规律。（二）振动能量与共振1．简谐振动中的能量。弹簧振子动能，振子的瞬间势能，总能量，可见，简谐振动物体机械能守恒，振子通过平衡位置时，Ep=0，Ek最大，通过极端位置时，Ek=0,Ep最大，例8：弹簧振子劲度系数为k，振动物质量为m，t=0时，x=x0，vx=v0,求A、。2．阻尼振动，简谐

6、振动机械能守恒，一旦开始，就永不停止，是理想状况，实际振动，因有摩擦，振动总是减弱以致最后停下，这种振幅逐渐减小的运动—阻尼振动。对于一定的振动物体，有阻尼要比无阻尼时，周期长些，阴尼越大，周期越长。k1cmx例9：如图，劲度系数为k=250g/cm的弹簧一端固定，另一端连接一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦因数，现将弹簧拉长1cm后由静止释放，求（1）物块获得的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动？3．受迫振动，物体在周期性外力（策动力）作用下的振动叫受迫振动。受迫振动的频率等于策动力的频率，而与物体固有频率无关，当策动力频率与物体固有

7、频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象称为共振，策动力频率与物体固有频率越接近，受迫振动振幅越大。（三）机械波1．机械波，横波与纵波。机械振动在介质中的传播叫机械波，波传播的是振动形式和能量，质点并未发生迁移，横波一质点振动方向与波传播方向垂直。纵波一质点振动方向与波的传播方向在一直线上。固体中可以同时有横波与纵波，气体中一般只有纵波存在。2．波长、频率与波速，定义（略）关系，注意：波速不同于运动质点的速度。vy第10页3．平面简谐波的波动方程及图象，平面简谐振动在一个方向上的传播叫简谐波，如图，O点的振动方程为，在x轴上任OPx一点P比O的振动滞后，∴P点

8、振动方程为：，这就是波动方程，可描述平