旋转或平移情形下求图形阴影部分面积

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1、旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积湖北省黄石市下陆中学　周国强教学中常遇见旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积类问题，其中的阴影部分或成一个整体或是零散分布，其形状或是规则图形或是不规则图形，其状态往往是动态的．解决此类问题的关键是以静制动，化不规则图形为规则图形，再用相应规则图形的面积公式求解． 一、点旋转 例1　如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，将点C绕点D逆时针旋90至点E，连接AE，若AD＝3，BC＝5，则△ADE的面积是 ________．                                   

2、析解：已知梯形的上下底长，这个梯形的形状、大小是不能确定的，所以腰长也不能确定，从而△ADE的形状、大小亦不能确定，似乎△ADE的面积不可求．但据“点E是点C绕点D逆时针旋90得到，且梯形是直角梯形”在这样的特定条件下，考虑到梯形的上下底之差为一定值“2”，作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作CG⊥AD交AD的延长线于G，则四边形ABCG是矩形，DG＝2，易证Rt△DEF≌Rt△CDG(角、角、边)，所以EF＝DG＝2，故△ADE的面积等于×AD×EF＝×3×2＝3． 二、点平移 例2　如图2，半圆O的直径为10，C、D是半圆的三分点，点

3、P是直径AB上任一点，则阴影部分的面积是_______．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 析解：由于点P在直径AB上平移（C、D点的位置不动），阴影部分的形状不规则且是不确定．考虑到当点P运动到圆心O这一特殊位置时，所求图形面积是一扇形面积，故可将阴影部分的面积转化为扇形的面积来求．于是连OC、OD、CD，因C、D是半圆的三等分点，所以∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60，所以△OCD是等边三角形，所以CD∥AB，所以S＝S，从而S＝S，故阴影部分的面积＝扇形OCD的面积＝＝ ． 三、线段旋转 例3　如图3，矩形ABCD的对角线AC和

4、BD相交点O，过点O的直线绕点O旋转，分别交AD和BC于点E、F，若AB＝4，BC＝7，则图中阴影部分的面积是_____．　　　　　　　　　　　　　 析解：乍看，随着直线EF绕点O旋转，阴影部分总是零散分布且△AOE和△BOF的形状、大小都未确定，但因矩形对边平行，不难看出，只要点E不与点A或D重合，点F不与点B或C重合，总有S＝S或S＝S（因为△BOF≌△DOE，△AOE≌△COF），故可将零散分布的三块（阴影部分）集中到同一三角形△ACD或△BCD中去，即图中阴影部分的面积等于矩形面积的一半：×7×4＝14，事实上，当点E或F与矩形端

5、点重合时，三块阴影部分变成两块阴影部分，其面积正好也等于△ACD或△BCD面积． 四、线段平移 例4　如图4，在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为8和6，将BD沿CB方向平移，使D与A重合，B与CB延长线上的E点重合，求阴影部分的面积．　　　　　　　　　　　　　　　　　 析解：本题虽有动态条件，但因菱形是确定的，所以阴影部分的形状、大小是确定的．若整体求之，需知其形状到底是哪类四边形，由平移知，AE∥BD，AD∥EB，且AE＝BD＝6，因为AC⊥BD，所以AD＝BC＝＝＝5，又AE∥BD，所以阴影部分的形状实际上是一个直角梯形，故

6、其面积＝（3+6）×4＝18；若分割求之，则可分别求得两个三角形的面积后，再相加（同学们不妨试试）． 五、图形的旋转 例5　如图5，汽车在雨中行驶时，司机为看清前方的道路，要启动挡风玻璃前的雨刷．图是一个汽车雨刷示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？某同学仔细观察了雨刷的转动情况，量得CD＝8cm,∠DBA＝20,端点C和D与A的距离是115cm和35cm．他经认真考虑，只选用了其中部分数据就求得了结果．请你也帮助他算一算雨刷扫过的面积．　　　　　　　　　　　　　　　

7、　　析解：雨刷扫过的面积是一个不规则图形的面积，需转化为规则图形面积来计算．连AC、AD，不难看出：阴影部分的面积＝扇形ACC的面积+△ADC的面积－△ADC的面积－扇形ADD的面积，由于△ADC是△ADC绕点A旋转90得到的，所以△ADC的面积＝△ADC的面积，故阴影部分的面积＝扇形ACC的面积－扇形ADD的面积＝（115－32）＝300． 六、图形平移 例6　如图6，将⊙O沿直线L平移得到⊙O和⊙O，且其中一个圆经过另一个圆的圆心，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．　　　　　　　　　　　　　　　　　析解：显然，由⊙O平移知，图中

8、阴影部分的面积等于一个圆的面积减去空白部分AOBO的面积的2倍（空白部分是对称的）．连AB、O O、OA、OB，则AB与O O互相垂直平分（设垂足为C），因为OC＝ OA，所以∠∠OAC＝30