有理数的乘方及混合运算（提高）知识讲解

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1、有理数的乘方及混合运算（提高）撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点

2、二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849有理数的混合运算】要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释

3、：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．【典型例题】类型一、有理数的乘方1.计算：（1）（2）【答案与解析】由乘方的定义可得：(1)34＝3×3×3×3＝81；-34＝-（3×3×3×3）＝-81；；(2)；；；【总结升华】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．举一反三：【变式1】比较(-5)3与-53的异同．【答案】相同

4、点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．【变式2】已知，且，则的倒数的相反数是．【答案】类型二、乘方运算的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(

5、-2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．举一反三：【变式】当n为奇数时，．【答案】0类型三、有理数的混合运算3.计算：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)（3）；（4）【答案与解析】（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]＝-9+(-8)÷(-3+5)＝-9+(-8)÷2＝-9+(-4

6、)＝-13（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)＝[72×(7-6)-1]÷(-24)＝(49-1)÷(-24)＝-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．举一反三：【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849典型例题1】【变式】计算：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）原式或原式=（1-1+）（2-9）（2）原式

7、(3)原式=-32-3+66-9=22(4)原式4.计算：【答案与解析】逆用分配律可得：【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有举一反三：【变式1】计算：【答案】原式=【变式2】计算：【答案】类型四、探索规律5.下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；…第n个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）．A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数【答案】A【解析】第1个数结果为；第2个数结果为；第3个数结果为；…；发现运算中在后边的各式为，分子、分母相约为1，所以第n个

8、数结果为，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归