专题讲座：排列、组合和概率

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1、无锡教育http://www.wxjy.com.cn高二数学同步辅导教程（第40讲）专题讲座：排列、组合和概率基本原理和排列复习内容两个基本原理、排列、排列数公式复习要求1．掌握分类计数原理（又称加法原理）和分步计数原理（又称乘法原理），并能运用这两两个基本原理分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.主要内容及典型题例本章的主要内容结构本章内容主要包括排列、组合、二项式定理及概率等内容，其知识结构可归纳为下表：典型题例例1．（1）有红、黄、白色旗子各n面（n＞3），取其中一面、二面、

2、三面组成纵列信号：可以有多少不同的信号？1002/03年第一学期同步辅导教材版权所有不得转录无锡教育http://www.wxjy.com.cn（2）有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？（1）解因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗：共有3种信号；②升二面旗：要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3种信号；③升三面旗：有N=3×3×3种信号，

3、所以共有39种信号.（2）解法1计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此互斥的，用加法原理，因此，不同币值有N=+++=15（种）评析1.加法原理和乘法原理这两个基本原理，不仅是推导排列数、组合数公式的基础，而且可以直接运用它们去解决某些问题，两个原理的区别在于前者与分类有关，后者与分步有关.运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），故称之分类计数原理，运用时应注意使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，故称之分步计数原理，运用时应注意正确设计分步的程序，使每步之间既相互联系，又彼

4、此独立.2．排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”——互斥独立事件，后者“联”——相依事件.因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法.例2一太阳伞的伞蓬由八个区域组成，它由七种不同颜色的面料拼接而成，若恰有一组相对的区域用同一颜色的面料（如图中有小点的区域），问可搭配成颜色排列不同的伞面种数？解一组相对的同色区域可选用7种颜色，其余6个区域有种不同颜色排列，但如图所示的1～6和①—⑥两种排列，其实色彩顺序是一致的，故符合题意的答案是×7×=2520种.例34位学生与2位教

5、师并坐合影留念.（1）教师必须坐在中间；（2）教师不能坐在两端，但要坐在一起；（3）教师不能坐在两端，且不能相邻，各有多少种不同的坐法？（1）解法1固定法：从元素着眼，把受限制的元素先固定下来.i)教师先坐中间，有种方法：ii)学生再坐其余位置，有种方法.∴共有·=48种坐法.解法2排斥法：从位置着眼，把受限制的元素予先排斥掉.i)学生坐中间以外的位置：；ii)教师坐中间位置：.解法3插空法：从元素着眼，让不受限制的元素先排好（无条件），再让受限制元素按题意插入到允许的位置上.i)学生并坐照相有种坐法；ii)教师插入中间：.解法4淘汰法（间接解

6、法）：先求无条件限制的排法总数，再求不满足限制条件的排法数，然后作差.即“A=全体－非A”.i)6人并坐合影有种坐法；ii)两位教师都不坐中间：(先固定法)·；iii)两位教师中仅一人坐中间；（甲坐中间）·（再固定乙不坐中间）··2（甲、乙互换）；iv)作差：—（·+2··）.解法5等机率法：如果每一元素被排入，被选入的机会是均等的，就可以利用等机率法来解.将教师看作1人（捆绑法），问题变成5并坐照相，共有A55种坐法，而每个人坐中间位置的机会是均等的，应占所有坐法的，即教师1人坐中间的坐法有·即种.（2）将教师看作1人，问题变成5人坐照相.1

7、002/03年第一学期同步辅导教材版权所有不得转录无锡教育http://www.wxjy.com.cn解法1从位置着眼，排斥元素——教师.先从4位学生中选2人坐两端位置：；其他人再坐余下的3个位置：；教师内部又有种坐法.∴共有··=144种坐法解法2从元素着眼，固定位置先将教师定位：·；再排学生：.∴共有··种坐法.（3）解插空法：（先排学生）·（教师插空）.评析1.“在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分.2．对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想

8、方法，是解题的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的.3．关于“元素和问题”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是