充分挖掘课本习题的潜力(高建彪)

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1、充分挖掘课本习题的潜力（供稿：东升高中高建彪）纵观近几年来的高考数学试题，源于课本的题型占据了一定的份量，我们重视例题的教学同时，不要轻视教材上习题的充分挖掘。我在教学中，在挖掘课本习题方面做了一些尝试，下面结合老教材试从挖掘的几个方面各举几例，与各位同仁交流。一、重结论的应用推广，提高解题速度。原题1：高中平面解析几何课本P28第16题，设点P(x，y)在直线Ax＋By＋C＝0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x－x)＋B(y－y)＝0。本题采用代入法，用x、y表示C后，再代入直线一般式方程，经过整理得到直线方程的另外一

2、种形式，我在教材中所提到的直线方程的五种形式的基础上补充为第六种，自命名为“点系式”方程。应用原题1，在求经过某已知点与已知直线平行或垂直的直线方程时，可以直接写出所求方程，如：经过点A(3,2)且与直线4x＋y－2＝0平行、垂直的直线方程分别可以直接写为4(x－3)＋(y－2)＝0、(x－3)－4(y－2)＝0.原题2：高中立体几何课本P122第3题，AB和平面α所成的角是θ，AC在平面α内,AC和AB的射影AB’成角θ，设∠BAC＝θ，求证：cosθcosθ＝cosθ。本题的证明，对线面角、线线角的解答方法（一是定位，二

3、是定量）渗透性较强。同时，应用该题结论，可以解决有关几个角度关联的问题，如：正四面体ABCD中，求侧棱与底面所成角，可以很快地根据公式列出cosθcos30°＝cos60°，然后求出该角的余弦cosθ＝。诸如此类结论可以应用推广的习题，课本中比较多，应用推广比较典型的还有高中平面解析几何课本P27第5题，设A、B两点的坐标分别是(x,y)和(x，y)，直线AB的倾斜角是α，求证：

4、x－x

5、＝

6、cosα

7、，该题我将其结果变形后推广公式为

8、AB

9、＝

10、x－x

11、＝，并应用其作为解答直线与二次曲线相交时的有关弦长问题的主要方法，这样既

12、快又简单。总之，习题结论的应用推广，可以更进一步使学生掌握可数学教材，形成快速解答数学问题的一些技巧。二、重一题多解、一题多变，加强知识联系，训练、拓广学生思维。原题3：高中代数下册课本P30第11题，求证：

13、x＋

14、≥2(x≠0)学生很快可以应用均值不等式证明出来，在评讲该习题时，我将该题进行几次变化，增设如下几问：①求函数y＝x＋的值域；②指出y＝x＋的单调区间，并将其推广到函数y＝x＋(a>0)的研究，联系到97年全国高考题卷的应用问题的解答。即先求出函数y＝S(＋bv)，再用函数y＝x＋(a>0)的单调性研究其最小值情

15、况。这样一题多变，使学生在应用均值不等式进行证明时，联系到了函数的单调性、值域等知识点，并应用数学知识来解决实际问题。原题4：高中解析几何课本P27第9题，证明三点A(1,3)、B(5,7)、C(10,12)在同一直线上。此题的证明，我们分析后应用了如下几种证明方法：证法一：由k＝k，而证明三点共线；证法二：由x坐标计算出λ，由y坐标计算出λ，得到λ＝λ，从而证明三点共线；证法三：求出直线AB的方程，代入点C进行验证，而证明三点共线；证法四：计算

16、AB

17、、

18、BC

19、、

20、AC

21、，得到

22、AB

23、＋

24、BC

25、＝

26、AC

27、，证得三点共线。本

28、题多种思路的解答，联系到了直线的斜率公式、两点式方程、线段的定比分点坐标公式、两点间的距离公式等知识点，也使学生掌握了解决三点共线问题的多种方法。一题多变与多解，可以通过一题的训练，联系到较多的知识点，拓广学生的思维，起到事半功倍的作用。三、重隐蔽条件与学生错误分析，养成细致解题的习惯。原题5：高中代数上册课本第199页④小题，化简＋。学生解答本题，很难得到全面的答案，有的只得到一个答案3，有的得到两个答案±1等等。对此题的错误讲评分析，可以强调学生在三角公式的应用中，符号的注意是重中之重。平方关系应用时，尤其要注意符号。同

29、时通过对α的分四个象限讨论，也渗透了分类讨论思想方法。原题6：高中解析几何课本P61第7题，求与点O(0,0)和A(c,0)的距离的平方差为常数c的点的轨迹方程。本题的解答，学生忽视了条件c可以为0，所以求得的轨迹方程都为x＝，而“当c＝0时，轨迹为整个平面”这一情况没有注意到。诸如这类细节问题，课本中习题比较多，也是学生错误比较普遍的地方。如在给条件求值时，需要注意掩蔽的条件；求曲线的轨迹方程问题，要注意挖去哪些点等等。四、重解题思想方法的渗透，将数学基础知识的掌握上升到较高层次。αβ原题7：高中代数上册课本P262第9题

30、，如图，三个相同的正方形相接，求证α＋β＝45°。本题可以用几何知识中的三角形相似方法来解决，然而更简捷的解题思路，是应用代数中三角函数中两角和的正切公式解答，这样，几何问题转化为代数问题，体现了转化思想和数形结合思想方法。又如在数列问题的解答中，对于等差数列和等比通项公式和前n项和公式应