同济大学第六版高等数学课后答案全集.pdf

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1、同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1−11.设A=(−∞,−5)∪(5,+∞),B=[−10,3),写出A∪B,A∩B,AB及A(AB)的表达式.解A∪B=(−∞,3)∪(5,+∞),A∩B=[−10,−5),AB=(−∞,−10)∪(5,+∞),A(AB)=[−10,−5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(A∩B)C=AC∪BC.证明因为x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔x∉A或x∉B⇔x∈AC或x∈BC⇔x∈AC∪BC,所以(A∩B)C=AC∪BC.3.设映射f:X→Y,A⊂X,B⊂X.证明(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B)

2、;(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).证明因为y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B)y∈f(A)或y∈f(B)⇔y∈f(A)∪f(B),所以f(A∪B)=f(A)∪f(B).(2)因为y∈f(A∩B)⇒∃x∈A∩B,使f(x)=y⇔(因为x∈A且x∈B)y∈f(A)且y∈f(B)⇒y∈f(A)∩f(B),所以f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).4.设映射f:X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使g�f=IX,f�g=IY,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有IXx=x;对于每一个y∈Y,有I−1Y

3、y=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f.证明因为对于任意的y∈Y,有x=g(y)∈X,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1≠x2,必有f(x1)≠f(x2),否则若f(x1)=f(x2)⇒g[f(x1)]=g[f(x2)]⇒x1=x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射.对于映射g:Y→X,因为对每个y∈Y,有g(y)=x∈X,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:X→Y,A⊂X.证明:(1)f−1(f(A))⊃

4、A;(2)当f是单射时,有f−1(f(A))=A.证明(1)因为x∈A⇒f(x)=y∈f(A)⇒f−1(y)=x∈f−1(f(A)),所以f−1(f(A))⊃A.(2)由(1)知f−1(f(A))⊃A.另一方面,对于任意的x∈f−1(f(A))⇒存在y∈f(A),使f−1(y)=x⇒f(x)=y.因为y∈f(A)且f是单射,所以x∈A.这就证明了f−1(f(A))⊂A.因此f−1(f(A))=A.6.求下列函数的自然定义域:(1)y=3x+2;22解由3x+2≥0得x>−.函数的定义域为[−,+∞).331(2)y=;1−x2解由1−x2≠0得x≠±1.

5、函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞).12(3)y=−1−x;x解由x≠0且1−x2≥0得函数的定义域D=[−1,0)∪(0,1].1(4)y=;4−x2解由4−x2>0得

6、x

7、<2.函数的定义域为(−2,2).(5)y=sinx;解由x≥0得函数的定义D=[0,+∞).(6)y=tan(x+1);ππ解由x+1≠(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为x≠kπ+−1(k=0,±1,±2,⋅⋅22⋅).(7)y=arcsin(x−3);解由

8、x−3

9、≤1得函数的定义域D=[2,4].1(8)y=3−x+arctan;x解由3−x

10、≥0且x≠0得函数的定义域D=(−∞,0)∪(0,3).(9)y=ln(x+1);解由x+1>0得函数的定义域D=(−1,+∞).1(10)y=ex.解由x≠0得函数的定义域D=(−∞,0)∪(0,+∞).7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,g(x)=x2;(3)f(x)=3x4−x3,g(x)=x3x−1.(4)f(x)=1,g(x)=sec2x−tan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)=−x.(3)相同.因为定义域、

11、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.⎧π

12、sinx

13、

14、x

15、<⎪3πππ8.设ϕ(x)=⎨,求ϕ(),ϕ(),ϕ(−),ϕ(−2),并作出函数y=ϕ(x)π644⎪0

16、x

17、≥⎩3的图形.ππ1ππ2ππ2解ϕ()=

18、sin

19、=,ϕ()=

20、sin

21、=,ϕ(−)=

22、sin(−)

23、=,ϕ(−2)=0.6624424429.试证下列函数在指定区间内的单调性:x(1)y=,(−∞,1);1−x(2)y=x+lnx,(0,+∞).证明(1)对于任意的x1,x2∈(−∞,1),有1−x1>0,1−x2>0.因为当x1

24、,121−x11−x2(1−x1)(1−x2)x所以函数y=在区间(−∞,1)内