反问题正则化方法及其计算

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1、摘要反问题是科学界新兴而重要的研究方向，人们在自然科学诸多领域中均可找出反问题的存在。研究该课题不仅具有理论上的意义，而且在实际生活中有广泛的应用空间。如何找到反问题以及反问题的求解是研究反问题的主要内容，由于反问题的不适定性，正则化方法扮演了十分重要的角色。上世纪60年代，苏联数学家吉洪诺夫等提出了求解不适定问题的吉洪诺夫正则化方法，为反问题的求解提供了一种基本而有效的方法，其中对于正则化参数的选取则一直是受人关注的研究课题。作为解决反问题的有效手段，对正则化方法的研究还不断涌现出新的研究成果，如基于统计学的正则化方法【12，13，22]、乘性正则化方法【1,2，3】

2、、多参数正则化方法[6，17】等。本文主要发展了一类基于离散反问题的乘性正则化方法，进行了相应的理论与计算上的分析，同时对计算方法做出了改进；提出了一种新的迭代方法以获取吉洪诺夫正则化方法的正则化参数。本文主要结构如下：第一章阐述反问题的科学定义、发展历程，构造一些应用实例并进行计算求解。第二章对经典正则化方法的原理进行综述，从多个角度(尤其是统计的角度)对吉洪诺夫正则化方法进行论述，介绍吉洪诺夫正则化方法的参数选取策略。第三章提出针对离散性反问题的乘性正则化方法，对该方法进行理论和计算上的分析，同时，在四类不同的正则化矩阵下，运用乘性正则化方法求解和比较，并在此基础上

3、对乘性正则化方法做出进一步改进，提高了计算的稳定性．第四章构造一种获取正则化参数的迭代方法，通过数值实验，证明了该方法的有效性．第五章总结本文工作并对未来工作进行展望，提出一些有待进一步解决的问题。关键词：反问题；正则化方法；乘性正则化；迭代法ABSTRACTTheinvestigationofinverseproblemsisaboomandimportantdirectioninscienceandindustry,whichcanbefoundinalmosteveryfieldofscience．Itisnotonlyavaluableresearchproje

4、ct，butalsoawidelyapplicablesubjectinreallife．Themainproblemswearefacingarehowtofindinverseproblemsandresolvethem．Duetotheillnessofinverseproblems，theregularizationmeth-odsplayacriticalroleinsolvinginverseproblems．In1960’S，A．Tikhonov，aRussianmathematician，proposedtheTikhonovRegularizat{on

5、Methodtosolvetheillnessproblems，whichsupplyabasicandeffectivewaytotreatin．verseproblemsandthestrategiesoftheselectionofregularizationparameterhavebeenthehottestresearchtopicofinverseproblemssincethen．Asanel-fectiveapproach，alotofscientistsarestillworkingonthisareaandmanynewideasproposed，

6、suchasstatisticregularizationmethod[12，13，22]，multiplica-tiveregularizationmethod[1，2，3】，multi—parameterregularizationmethod[6，17】andSOon．Themaininnovationsofthisthesisaretodevelopthemultiplica-tivemethodsfordiscreteinverseproblems，andanalyzingitspropertiesbothbytheoryandcomputation，then

7、proposinganimprovedwaytothismethod；further，wegiveanewiterativeapproachtoacquireaproperregularizationparametersfortheTikhonovregularizationmethod．Themainstructureofthearticleisa8follows．Inchapterl，weintro-ducethedefinitionofinverseproblemsandgivesomenumericalexamples．Incha