小专题(五)　相似三角形的基本模型(教材变式型)

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1、小专题(五)　相似三角形的基本模型(教材变式型)模型1　X字型及其变形模型展示：(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.教材母题(教材P102T5)：如图，AE与BD相交于点C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6.求证：AB∥DE.证明：∵＝＝，＝＝，∴＝.又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC.∴∠A＝∠E.∴AB∥DE.变式训练：1．(恩施中考)如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC

2、于点F，则DF∶FC等于(D)A．1∶4B．1∶3C．2∶3D．1∶22．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴＝，即＝.∴DF＝4.模型2　A字型及其变形模型展示：(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；(2)如图2、图3，公共角的对边不平行，且有一对角相等，则△ADE∽△ACB.教材母题(教材P82T2)：如图，点B，

3、C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝6，AB＝5，EC＝4，DB＝7.求证：△ABC∽△AED.证明：∵＝，＝，∴＝.又∵∠CAB＝∠DAE，∴△ABC∽△AED.变式训练：3．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB.∴＝.∴＝.∴＝.4．如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.

4、证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB.∴＝.又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴＝.∴＋＝＋＝＝1.∴＋＝.模型3　旋转型模型展示：如图，若∠BAD＝∠CAE，则△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABC构成A字型的相似三角形．教材母题(教材P89T3)：如图，∠1＝∠2，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED.证明：∵∠1＝∠2，∠1＋∠EAC＝∠BAC，∠2＋∠EAC＝∠EAD，∴∠BAC＝∠EAD.又∵AB·AD＝AC·AE，即＝，∴△ABC∽△AED.变式训练：5．如图，在△ABC与△AD

5、E中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AD＝2AB＝6，求AE的长．解：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠EAD.又∵∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE.∴＝.∵AC＝AD＝2AB＝6，∴AB＝3.∴＝.∴AE＝12.模型4　双垂型模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.教材母题(教材P104T12)：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：(1)AC2＝AD·AB；(2)CD2＝BD·AD.证明：(1)∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°.∴∠CD

6、A＝∠BCA.又∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACB∽△ADC.∴＝，即AC2＝AD·AB.(2)∵∠ACD＋∠A＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A.又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD.∴＝，即CD2＝BD·AD.变式训练：6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为(B)A．3B．15C．9D．3＋3　　模型5　M字型

7、模型展示：如图，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.教材母题(教材P80T2)：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE.已知ED＝1，BD＝4，求AB的长．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴＝.又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，∴AB＝4.变式训练：8．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3

8、FD，∠BEF＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4.∵CF＝3FD，∴D