数值分析实验报告

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1、数值分析实验报告实验名称雅可比方法和高斯-塞德尔方法的比较实验时间2009年6月姓名专业学号一、实验目的及内容1．理解雅可比方法和高斯-塞德尔方法的基本原理2．比较雅可比方法和高斯-塞德尔方法的收敛速度二、方法提出在科学计算与工程设计中，我们常会遇到求解线性方程组的问题，对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组，选主元消去法是解方程比较有效的方法，而对于系数矩阵为大型稀疏矩阵的情况，直接法就显得比较繁琐，而迭代法比较适用。比较常用的迭代法有雅可比方法与高斯-塞德尔方法。三、相关背景知识1、迭代法对给定的方程组，用

2、公式逐步代入求近似解的方法称为迭代法。2、迭代法的收敛性若：则称矩阵序列依范数‖·‖收敛于A。由范数的等价性可以推出，在某种范数意义下矩阵序列收敛，则在任何一种范数意义下该矩阵序列都收敛。因此，对矩阵序列收敛到矩阵，记为，而不强调是在那种范数意义下收敛。3、迭代法的收敛速度考察误差向量设B有n个线性无关的特征向量，相应的特征值为，由得可以看出，当愈小时，愈快，即愈快，故可用量来刻划迭代法的收敛快慢。4、雅可比迭代法设线性方程组(1)-7-的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零，令并将A分解成(2)从而(1)可写成

3、令其中。(3)以为迭代矩阵的迭代法(公式)(4)称为雅可比迭代法(公式)，用向量的分量来表示，(4)为其中为初始向量。由此看出，雅可比迭代法公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法。在电算时需要两组存储单元，以存放及。5、高斯-塞德尔迭代法由雅可比迭代公式可知，在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量，显然在计算第i个分量时，已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看，最新计算出的分量可能比旧的分量要好些。因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用，就得到所谓解方程组的高斯-塞德尔迭

4、代法。把矩阵A分解成其中，-L，-U分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分，于是，方程组(1)便可以写成即其中以B2为迭代矩阵构成的迭代法(公式)称为高斯-塞德尔迭代法(公式)，用量表示的形式为-7-由此看出，高斯-塞德尔迭代法的一个明显的优点是，在编程时，只需一组存储单元(计算出后不再使用，所以用冲掉，以便存放近似解)。四、实验内容选取课本第六章例1和课后习题2的题目来比较雅可比方法和高斯-塞德尔方法，比较两种方法的计算速度和收敛情况。本次实验采用VC++中的MFC制作界面，通过代码实现雅可比方法和高斯-塞

5、德尔方法，并且同时显示两种方法迭代过程的中间过程，以及两种方法最终的收敛情况。1、程序代码//宏定义#defineEPS1e-6#defineMAX300voidCBijiaoDlg::OnJisuan(){//TODO:AddyourcontrolnotificationhandlercodehereUpdateData(true);//清空list控件中的内容m_list1.DeleteAllItems();m_list2.DeleteAllItems();//将方程的系数输入给程序floata[3][4]

6、;{a[0][0]=m_x11;a[0][1]=m_x12;a[0][2]=m_x13;a[0][3]=m_b1;a[1][0]=m_x21;a[1][1]=m_x22;a[1][2]=m_x23;a[1][3]=m_b2;a[2][0]=m_x31;a[2][1]=m_x32;a[2][2]=m_x33;a[2][3]=m_b3;}doublex[100],y[100],s;doublese;doubleepsilon;//用来存放迭代误差的变量inti,j,k=0;//k为迭代次数intn=3;//n为方程

7、中变量的个数for(i=0;i

8、和第几次迭代在列表中输出CStrings;s.Format("%d",k);m_list1.InsertItem(k-1,s,0);s.Format("%lf",x[0]);m_list1.SetItemText(k-1,1,s);s.Format("%lf",x[1]);m_list1.SetItemText(k-1,2,s);s.Format("%lf",x[2]);m_list1