待定系数法求递推数列通项公式

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1、第12页共12页最全的待定系数法求递推数列通项用待定系数法求递推数列通项公式初探摘要:本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。关键词:变形对应系数待定递推数列数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察

2、、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。一、型（为常数，且）例题1.在数列中，,,试求其通项公式。分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在的两边同时加上1，整理为，此时，把和看作一个整体，或者换元，令，那么，即，，因此，数列或就是以2为首项，以2为公比的等比数列，或者

3、，进一步求出。启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，已知，可变形为第12页共12页最全的待定系数法求递推数列通项的形式，然后展开括号、移项后再与相比较，利用待定系数法可得。这样，对于形如（其中为常数，且）的递推数列，先变为的形式，展开、移项，利用待定系数法有，即则数列首项为等比数列因此，形如这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。那么，若变为,是关于非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用待定系数法呢？二型

4、例题2.在数列中，,,试求其通项公式。分析：按照例题1的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n的倍数，才能使新的数列有一致的形式。先变为，展开比较得进一步则数列是的等比数列，所以，同样，形如的递推数列，设第12页共12页最全的待定系数法求递推数列通项展开、移项、整理，比较对应系数相等，列出方程解得即则数列是以为首项，以p为公比的等比数列。于是就可以进一步求出的通项。同理，若其中是关于n的多项式时，也可以构造新的等比数列，利用待定系数法求出其通项。比如当=时，可设展开根据对应系数分别相等求解方程即可

5、。为n的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。而如果当是n的指数式，即时，递推公式又将如何变形呢？三例题3.在数列中，,,试求其通项。分析1：由于与例题1的区别在于2n是指数式，可以用上面的思路进行变形，在两边同时加上变为即则数列是首项为3，公比为3的等比数列，则第12页共12页最全的待定系数法求递推数列通项分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除就回到了我们的类型一。进一步也可求出。例题4.在数列中，,,试求的通项。分析：若按例题3的思路2，在两边同时除以，虽然产生了、，但是又增

6、加了，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路1，在两边同时加上10整理进一步则数列是首项为15，公比为3的等比数列即启示：已知数列的首项，1）当,即由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造首项和公比已知或可求的等比数列。思路一：在两边同时除以，将不含的项变为常数，即为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列最终求解出的通项。思路二：在两边同时加上的倍数，最终能变形为第12页共12页最全的待定系数法求递推数列通项对应系数相等得，即即求出数列的通项，进一步求出的通项。1）当时，即由例4可

7、知只能在选择思路二，两边既要加的倍数，也要加常数，最终能变形为比较得x，y的方程组于是求出数列的通项，进一步求出的通项。四：其中可以为常数、n的多项式或指数式）以=0为例。例题5.在数列中，,试求的通项。分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把看做常数进行处理，可变为，先求出数列的通项然后利用累加法即可进一步求出的通项。第12页共12页最全的待定系数法求递推数列通项对于形如的递推数列，可以设展开，利用对应系数相等，列方程于是数列就是以为首项，y为公比的等比数列，不难求出的通项进一步利用相关即

8、可求出。同理，当为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进行处理。问题的关键在于先变形然后把看做一个整体就变为了前面的类型。五：型，为正项数列例题6.在数列中，，试求其通项。分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于，所以可联想到对数的相关性质，对两边取对数，即就是前面的类型一了，即变形得对于类似的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得然