平面问题有限元解法(公式推导讲解).ppt

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1、平面问题的有限单元解法有限单元法基本思想有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。有限单元法的分析步骤如下：物体离散化单元特性分析单元组集，整体分析求解未知节点的位移由节点的位移求解各单元的位移和应力7/31/2021有限元单元模型中几个重要概念单元网格划分中每一个小的块体节点确定单元形状、单元之间相互联

2、结的点节点力单元上节点处的结构内力载荷作用在单元节点上的外力（集中力、分布力）约束限制某些节点的某些自由度弹性模量（杨式模量）E泊松比（横向变形系数）μ密度单元单元载荷节点节点力约束7/31/20211.研究内容内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。弹性力学的内容及基本假定2.研究对象一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等7/31/2021弹性力学的内容及基本假定3.研究方法由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析4.数学理论基础——偏微分方程（高阶

3、，二、三个变量）数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。7/31/2021弹性力学的内容及基本假定5.基本假定（1）.连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u等量表示成坐标的连续函数。7/31/2021弹性力学的内容及基本假定（2）.完全弹性假定假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。脆性材料——一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料——比例阶段，可视为线弹性的。（3）.均匀性假定假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。作用

4、：弹性常数（E、μ）等——不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。7/31/2021弹性力学的内容及基本假定（4）.各向同性假定（5）.小变形假定假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体的原来的尺寸。作用：建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。7/31/2021基本概念：外力、应力、形变、位移。1.外力：体力、面力(1)体力——分布在物体体积内的力—

5、—体力分布集度（矢量）xyzO单位：N/m3kN/m3说明：f是坐标的连续分布函数；弹性力学中的几个基本概念p7/31/2021(2)面力——分布在物体表面的力——面力分布集度（矢量）xyzO单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：弹性力学中的几个基本概念是坐标的连续分布函数；p7/31/20212.应力(1)一点应力的概念ΔAΔF内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)P截面上P点的应力应力矢量.的极限方向应力分量n(法线)应力的法向

6、分量——正应力应力的切向分量——切应力单位:MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布弹性力学中的几个基本概念7/31/2021(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：弹性力学中的几个基本概念7/31/2021用矩阵表示：其中，只有6个量独立。切应力互等定理应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。切应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO弹性力学中的几个基本概念7/31/20213.形变形变——物体的形状改变xy

7、zO（1）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。PBCA——用正应变ε度量——切应变γ度量（切应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的正应变：三个平面内的切应变：(1)一点形变的度量应变的正负：正应变：伸长时为正，缩短时为负；切应变：以直角变小时为正，变大时为负；弹性力学中的几个基本概念7/31/2021(2)一点应变状态其中应变无量纲；4.位移注：一点的位移——矢量S应变分量均为位置坐标的函数xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量纲：m或mm弹性

8、力学中的几个基本概念7/31/2021工程力学问题建立力学模型的过程中，一般从三方面进行简化：结构简化如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。受力简化如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。材料简化根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。7/31/2021平面问