因式分解的常用方法(方法最全最详细)

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1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。注意：将一个多项式进行因

2、式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　(1)(a+b)(a-b)=a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b)；　(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；　(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　(4)(a-

3、b)(a2+ab+b2)=a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三边，且，则的形状是（）A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：33三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公

4、式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式==每组之间还有公因式！=例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=原式=====练习：分解因式1、2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式===例4、分解

5、因式：解：原式===练习：分解因式3、4、综合练习：（1）（2）（3）（4）（5）（6）33（7）（8）（9）（10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求>0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例

6、5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6（-1）+（-6）=-7练习5、分解因式(1)(2)(3)练习6、分解因式(1)(2)(3)33（二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1）（2）（3）分

7、解结果：=例7、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=练习7、分解因式：（1）（2）（3）（4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、例10、1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=练习9、分解因

8、式：（1）（2）33综合练习10、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、换元法。(1)、换单项式例1分解因式x6+14x3y+49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，原式变形为m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.(2)、换多项式例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x