重要公式和其推导

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1、重要公式及其推导  信号流程图和梅逊公式方块图对于图解表示控制系统，是很有用的。但是当系统很复杂时，方块图的简化过程是很繁杂的。信号流程图，是另一种表示复杂控制系统中系统变量之间关系的方法。这种方法是S.J.梅逊(Mason)首先提出的。信号流图信号流图，是一种表示一组联立线性代数方程的图。当将信号流图法应用于控制系统时，首先必须将线性微分方程变换为以s为变量的代数方程。信号流图是由网络组成的，网络中各节点用定向支线段连接。每一个节点表示一个系统变量，而每两节点之间的联结支路相当于信号乘法器。应当指出，信号只能单向流通。信号流的方向由支路上的箭头表示，而乘法因子则标在

2、支路线上。信号流图描绘了信号从系统中的一点流向另一点的情况，并且表明了各信号之间的关系。正如所料，信号流图基本上包含了方块图所包含的信息。用信号流图表示控制系统的优点，可以应用所谓梅逊增益公式。根据该公式，不必对信号流图进行简化，就可以得到系统中各变量之间的关系。定义在讨论信号流图之前，首先必须定义如下一些术语：    节点，节点用来表示变量或信号的点。    传输，两个节点之间的增益叫传输。    支路，支路是连接两个节点的定向线段。支路的增益为传输。    输出节点或源点，只有输出支路的节点，叫输出节点或源点。它对应于自变量。    输入节点或阱点，只有输入支路的

3、节点，叫输入节点或阱点。它对应于因变量。    混合节点，既有输入支路，又有输出支路的节点，叫混合节点。    通道，沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，叫通道。如果通道与任一节点相交不多于一次，就叫做开通道。如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次，就叫做闭通道。如果通道通过某一节点多于一次，但是终点与起点在不同的节点上，那么这个通道既不是开通道，又不是闭通道。    回路，回路就是闭通道。    回路增益，回路中各支路传输的乘积，叫回路增益。    不接触回路，如果一些回路没有任何公共节点，就把它们叫做不接触回路。    前向通道，如果从输

4、出节点（源点）到输入节点（阱点）的通道上，通过任何节点不多于一次，则该通道叫做前向通道。    前向通道增益，前向通道中，各支路传输的乘积，叫前向通道增益。图2-9表示了节点、支路和支路传输。信号流图的性质下面介绍一些信号流图的重要性质。    1．支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系。信号只能沿着支路上的箭头方向通过。    2．节点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有支路。    3．具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可以把它变成输出节点来处理。（见图2-9,注意，具有单位传输的支路从x3指向另一个节点，后者也以x3

5、表示。）当然，应当指出，用这种方法不能将混合节点改变为源点。        4．对于给定的系统，信号流图不是唯一的。由于同一系统的方程可以写成不同的形式，所以对于给定的系统，可以画出许多种不同的信号流图。信号流图代数根据前面的定义，可以画出线性系统的信号流图。这样做时，通常将输出节点（源点）放在左面，而输入节点（阱点）放在右面。方程式的自变量和因变量，分别变为输出节点（源点）和输入节点（阱点）。支路的传输可由方程的系数得到。为了确定输入-输出关系，可以采用梅逊公式。这个公式后面将要介绍。也可以将信号流图简化成只包含输出和输入节点的形式。为了进行这种简化，需采用下列规则

6、：    1．如图2-10(a)所示，只有一个输出支路的节点的值为x2=ax1。    2．串联支路的总传输，等于所有支路传输的乘积。因此，通过传输相乘，可以将串联支路合并为单一支路，如图2-10(b)所示。    3．通过传输相加，可以将并联支路合并为单一支路，如图2-10(c)所示。    4．混合节点可以消掉，如图2-10(d)所示。    5．回路可以消掉，如图2-10(e)所示。图2-10信号流图及其简化梅逊公式用梅逊公式可以直接求信号流图的传输。表示为（2-18）式中,Pk=第k条前向通道的通道增益或传输；Δ=流图的特征式  =1-（所有不同回路的增益之和

7、）+（每两个互不接触回路增益乘积之和）   -（每三个互不接触回路增益乘积之和）+…Δk=在除去与第k条前向通道相接触的回路的流图中，第k条前向通道特征式的余因子。总之，熟悉了梅逊公式之后，根据它去求解系统的传输，远比用方块图变换方法简便有效，对于复杂的多环系统和多输入、多输出系统尤其明显。因此，信号流图得到了广泛的实际应用，并常用于控制系统的计算机辅助设计