离散数学第三章 集合论

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1、第三章集合论离散数学陈志奎主编人民邮电出版社集合论的创立与康托尔的遭遇19世纪末期，数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫格奥尔格·康托尔（G.Cantor，1845－1918）的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论----集合论。它的内容是如此与常识格格不入，以致于一出世就引起了一场轩然大波。集合论的创立与康托尔的遭遇自从17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑基础。出于这一目的，康托尔用集合的观点重新考察各种数量关系，特别是无穷数量关系。在无穷的世界里，整体的所有元素和部分的所有

2、元素之间可以是一一对应的。另外，无穷集合并不都是相等的，比如所有实数和所有有理数之间就不是一一对应的。因而，无穷集合是有大小的。集合论用“基数”这个概念来表示无穷集合间的区别。集合论的创立与康托尔的遭遇康托尔的研究成果发表之后，遭到了德国数学家克隆尼克的激烈攻击。“上帝创造了自然数，其余的一切才是人做的工作”集合论的创立与康托尔的遭遇法国数学家彭加勒说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作

3、一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家魏尔认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克斯．克莱因也不赞成集合论的思想。数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交公理化集合论的建立在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。公理化集合论的建立罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现

4、在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。公理化集合论的建立1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。PART01PART02PART03集合的概念及其表示集合的运算及恒等式有穷集的计数和包含排斥原理主要内容3.1集合的概念及其表示集合是一个不能精确定

5、义的基本概念。一般地说，把具有共同性质的一些事物汇集成一个整体，就叫做集合。而这些事物就是这个集合的元素。例如，全体中国人是一个集合，每个中国人都是这个集合的元素；全体自然数是一个集合，每个自然数都是这个集合的元素；图书馆的藏书是一个集合，每本书都是这个集合的元素；全国的高校也形成一个集合，每所高校都是这个集合的元素。集合一般用大写的英文字母表示，集合中的事物，即元素用小写的英文字母表示。若元素属于集合，记作，读作“属于”；反之，写作，读作“不属于”。一个集合的元素个数是有限的，则称作有限集，否则称作无限集。103.1集合的概念及其表示1．枚

6、举法：把集合中的元素写在一个花括号内，元素间用逗号隔开。例如：2．构造法：构造法又叫谓词法。如果是表示元素x具有某种性质P的谓词，则所有具有性质P的元素构成了一个集合，记作。显然，。例如：11集合的表示法3.1集合的概念及其表示集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素，如集合的元素是无序的，如但集合中的元素还可以是集合。例如应该说明的是，但，同理但。12集合的表示法3.1集合的概念及其表示在本书中定义一些通用的集合的符号，自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C。为了体系上的严谨性，我们规

7、定，对于任何集合A都有。133.1集合的概念及其表示14集合间的关系3.1集合的概念及其表示15集合间的关系3.1集合的概念及其表示定理3.1空集是任意集合的子集，即对于任意集合A，有16集合间的关系3.1集合的概念及其表示定义3.6给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合称为集合A的幂集，记为。例如定理3.2若有限集合A有n个元素，则它的幂集有个元素。17集合间的关系PART01PART02PART03集合的概念及其表示集合的运算及恒等式有穷集的计数和包含排斥原理主要内容3.2集合的运算及恒等式集合之间的关系和初级运算可以用文氏图给予

8、形象的描述。文氏图的构造方法是首先画一个大矩形表示全集（有时为简单起见可将全集省略），其次在矩形内画一些圆（或任何其他适当的闭曲线），用圆的内部表示集合。不同的圆代