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1、第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1一元线性回归有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0i=1,2,…,nVar(εi)=s2i=1,2,…,nCov(εi,εj)=0i≠ji,j=1,2,…,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(Xi,εi)=0i=1,2,…,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0,s2)i=1,2,…,n2.2考虑过原点的线性回归模型Yi=
2、β1Xi+εii=1,2,…,n误差εi（i=1,2,…,n）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计解：得：2.3证明（2.27式），Sei=0，SeiXi=0。证明：其中：即：Sei=0，SeiXi=02.4回归方程E（Y）=β0+β1X的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。答：由于εi~N(0,s2)i=1,2,…,n所以Yi=β0+β1Xi+εi~N（β0+β1Xi,s2)最大似然函数：使得Ln（L）最大的，就是β0，β1的最大似然估计值。同时发现使得Ln（L）最大
3、就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi~N(0,s2)的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。所以在εi~N(0,s2)的条件下，参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。2.5证明是β0的无偏估计。证明：2.6证明证明：2.7证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR证明：2.8验证三种检验的关系，即验证：（1）；（2）证明：（1）（2）2.9验证（2.63）式：证明：其中：2.10用第9题证明是s2的无偏估计量证明：2.14为了调查某广
4、告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y（万元）和广告费用x（万元），数据见表2.6，要求用手工计算：表2.6月份12345X12345Y1010202040（1）画散点图（略）（2）X与Y是否大致呈线性关系？答：从散点图看，X与Y大致呈线性关系。（3）用最小二乘法估计求出回归方程。计算表XY1104100206（-14）2（-4）221011001013（-7）2（3）2320000200042010027727254044004034142（-6）2和15100和Lxx=10Lyy=600
5、和Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20回归方程为：（1）求回归标准误差先求SSR（Qe）见计算表。所以第三章3.3证明随机误差项ε的方差s2的无偏估计。证明:3.4一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？答：不能断定这个回归方程理想。因为：1.在样本容量较少，变量个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F检验或者关于回归系数的t检验，所建立的回归方程都没能通过。2.样本决定系数和复相关系数接近于1只能说明Y
6、与自变量X1,X2,…,Xp整体上的线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量是显著的，还需进行F检验和t检验。3.在应用过程中发现，在样本容量一定的情况下，如果在模型中增加解释变量必定使得自由度减少，使得R2往往增大，因此增加解释变量（尤其是不显著的解释变量）个数引起的R2的增大与拟合好坏无关。3.7验证证明：多元线性回归方程模型的一般形式为：其经验回归方程式为，又，故，中心化后，则有，左右同时除以，令，样本数据标准化的公式为，则上式可以记为则有3.11研究货运总量y（万吨）与工业总产值x1（亿元）
7、、农业总产值x2（亿元）、居民非商品支出x3（亿元）的关系。数据见表3.9（略）。（1）计算出y，x1，x2，x3的相关系数矩阵。SPSS输出如下：则相关系数矩阵为：（2）求出y与x1，x2，x3的三元回归方程。对数据利用SPSS做线性回归，得到回归方程为（3）对所求的方程作拟合优度检验。由上表可知，调整后的决定系数为0.708，说明回归方程对样本观测值的拟合程度较好。（4）对回归方程作显著性检验；原假设：F统计量服从自由度为（3，6）的F分布，给定显著性水平=0.05，查表得,由方查分析表得，F值=8
8、.283>4.76，p值=0.015，拒绝原假设，由方差分析表可以得到，说明在置信水平为95%下，回归方程显著。（5）对每一个回归系数作显著性检验；做t检验：设原假设为，统计量服从自由度为n-p-1＝６的t分布，给定显著性水平0.05，查得单侧检验临界值为1.943，X1的t值=1.942<1.943，处在否定域边缘。X2的t值＝2.465>1.943。拒绝原假设。由上表可得，在显著性水平时，只有的P值<0.05,通过检验，即只有的回归系数
