配凑思想在高中数学解题中的应用

《配凑思想在高中数学解题中的应用 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、配凑思想在高中数学解题中的应用姚毅（震泽中学，江苏苏州215200）摘要：配凑是一种主动构建，自主创新的过程，是高中数学解题实践中的一盏“航灯”，也是化归的基本手段。关键词：配凑思想；高中数学；解题应用：G633：A：常见的配凑有如下类型：一、“角”的配凑角的配凑是三角函数中的一种常用技巧，实则为“化异求同”的数学思想。例1计算分析：首先“切割化弦”，在配凑角。注：通过变，达到“减少角”的目的。例2证明。注：通过配凑“生成”目标角。二、“迭代式”的配凑。通过配凑常常可以构造“结构相似，下标递降”的迭代式，从而优化迭代过程。

2、常用方法有待定系数法、函数的不动点以及换元法等等。（一）函数迭代式的配凑例3若函数，求的解析式。分析：可以直接迭代，但过程繁杂冗长，容易出错。由知函数。注：(1)；(2)。例4已知对任意实数，函数都有定义，且。如果，求证是无限集。分析：配凑出满足集A的属性是解题的关键。，，所以,同理故是无限集。（二）数列迭代式的配凑例5在数列中，设为常数，且，求数列的通项。分析：可用待定系数法配凑“结构相似、下标递降”的新迭代式。设，由待定系数法可得，。例6若数列满足，求通项。分析：分式型的递归数列可考虑用函数的不动点配凑出“结构相似、下

3、标递降”的新迭代式。由函数的不动点为可构造迭代式。可得。例7分析：对于二阶递归数列可以用特征方程求得通项，但过程复杂，而且不符合出题本意，由交叉相乘可配凑出“结构相似、下标递降”的新迭代式。可得，由，两式左右两边对应相乘可得：例8在数列中，，求的通项公式。分析：该类分式型的递归数列常利用“正切的倍角公式”配凑出“结构相似、下标递降”的新迭代式。由得设，则所以且。故，所以，。三、“结构”的配凑“结构”的配凑是不等式放缩的常用技巧，是一种逐步调整的过程，是培养“实事求是”的辨证思维的基地，让学生在实践中不断感悟能解决问题的结构

4、就是好结构的思想方法，是解题实践中的一盏“航灯”。在历年的高考与竞赛中屡见不鲜。例9已知函数都是定义在区间上的增函数，且恒正，并设函数。则函数在上为_________（增函数，减函数，常数函数或以上均不对）。分析：用单调函数的定义求解，在判定差式的符号的关键是配凑。，则。故为增函数。反思：若除去条件“恒正”呢？（答案应为以上均不对）。在利用此结论时应注意到这一点。例10当分别为两个等差数列的前n项的和，且对任意自然数n都有则。分析：此题可利用等差中项公式配凑成等差数列的求和公式。.反思：若改成求呢？显然上述解法失效。注意到

5、等差数列的求和公式为缺常数项的二次式即，故可设，，进而得到对应的通项公式得解。例11设，求的最小值。分析：本题可用三角换元、均值定理求证，但利用柯西不等式的结构特征更可简化过程。由于，所以，即。当且仅当时等号成立，即时取等号。故。例12已知,求证：。分析：该题左边为一轮换对称式，可用排序原理求证，但重新齐次化后巧用柯西不等式的结构特征及均值定理可简化过程。。注：（1）例11、例12均用到柯西不等式。（2）柯西不等式的最简形式：当且仅当时取等号。例13已知函数满足下列条件：对任意的实数都有和，其中是大于0的常数。设实数满足和

6、。（1）证明，并且不存在，使得；（2）证明；（3）证明。证明：(1)若，则为任意实数，若，则，设，由(1)有，显然可得，故命题成立。（2）由题意知，，于是可得，所以有(3)由题意得。注：该题可谓考查配凑思想的典范，要注意（2）（3）的联系与本质区别，在证（3）时若沿袭（2）的思路，则陷入绝境！本题也可先证（3）再证（2），命题（3）为（2）的较强命题。结构决定功能，配凑实为生成“好结构”的途径！