微分方程算子法总结.pdf

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1、微分方程的求解一、n阶微分方程2dydy1、二阶微分方程：2+p(x)+q(x)y=f(x)dxdx(n)(n-1)(n-2)(n-3)2、n阶微分方程：y+a1y+a2y+a3y+...+any=f(x)二、微分算子法d32n1、定义符号：=D，D表示求导，如Dx=3x，Dy表示y对xdx11121求导n次；表示积分，如x=x,nx表示DD2D对x积分n次，不要常数。2、计算将n阶微分方程改写成下式：nn-1n-2n-3Dy+a1Dy+a2Dy+a3Dy+...+an-1Dy+any=f(x)nn-1

2、n-2n-3即（D+a1D+a2D+a3D+...+an-1D+an）y=f(x)nn-1n-2n-3记F(D)=D+a1D+a2D+a3D+...+an-1D+an*1规定特解：y=f(x)F(D)13、的性质F(D)1kx1kx(1)性质一：e=e(F(k)不等于0）F(D)F(k)注：若k为特征方程的m重根时，有1kxm1kxm1kxe=x(m)e=x(m)eF(D)F(D)F(k)11kxkx1(2)性质二：ev(x)=ev(x)F(D)F(D+k)11(3)性质三：特解形如sin(ax)和co

3、s(ax)F(D)F(D)1iaxi.考察该式（该种形式万能解法）：eF(D)利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部作为原方程的特解iax注：欧拉公式e=cos(ax)+isin(ax)2虚数i=-111ii.若特解形如2sin(ax)和2cos(ax)，也F(D)F(D)可按以下方法考虑：2若F(-a)≠0，则112sin(ax)=2sin(ax)F(D)F(-a)112cos(ax)=2cos(ax)F(D)F(-a)222若F(-a)=0，则按i.进行求解，或者设-a为F(-a)的m重根，则

4、11m2sin(ax)=x(m)2sin(ax)F(D)F(D)11m2cos(ax)=x(m)2cos(ax)F(D)F(D)2(4)性质四（多项式）：1pp-1p-2（x+b1x+b2x+...+bp-1x+bp）F(D)pp-1p-2=Q(D)（x+b1x+b2x+...+bp-1x+bp）注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p。(5)性质五（分解因式）:111f(x)=f(x)=f(x)F(D)F1(D)•F2(D)F2(D)•F1(D)(6)性质六:111fx+fxf(x)+f

5、(x)(1()2())=12F(D)F(D)F(D)三、例题练习2xdy例1.+4y=e2dx2x*1x1x1x则(D+4)y=e,特解y=2e=2e=e(性质一)D+41+45(4)4例2、y+y=2cos(3x），则(D+1)y=2cos(3x）*11特解y=2cos(3x）=2cos(3x）44D+1D+111=2cos(3x）=cos(3x）(性质三)22(-3)+141322x2xdydy222例3、-4+4y=xe,则(D-4D+4)y=xe2dxdx*122x2x12特解y=2xe=e2x

6、D-4D+4（D+2-2）2x112x24=ex=xe（性质二）2D1232dy-dydyx32x例4、332+3-y=e,则(D-3D+3D-1)y=edxdxdx*1xx1•特解y=3e=e31（D-1）（D+1-1）x1•1x3=e31=xe(性质二）D63dy3*1例5、3-y=sinx,则(D-1)y=sinx,特解y=3sinxdxD-11ix考察e3D-11ix1ix1ixi-1ix3e=3e=-e=eD-1i-1i+12i-1=(cosx+isinx)211=-(cosx+sinx)+i

7、(cosx-sinx)221*取虚部为特解y=(cosx-sinx)(性质一、三)2421dy2*例6、2+y=cosx，则(D+1)y=cosx，特解y=2cosxdxD+11ix考察2eD+11ix1ix1ixD2+1e=(D-i)(D+i)e=(D-i)(D+i)e11ixix•=e=e2i•(D+i-i)1(D-i)•2iiix11=-xe=xsinx-ixcosx2221*取实部为特解y=xsinx(性质一、二、三）24dyxx4例7、4-y=e，则(D-1)y=edx*1x1x特解y=4e=

8、2eD-1(D-1)(D+1)(D+1)1x=2e(D-1)(1+1)(1+1)11•1x11x=•e=eD-122D-141x1•1x=e1=xe（性质一、二、五）4D+1-142dy222例8、2+y=x-x+2,则(D+1)y=x-x+2dx*12特解y=2(x-x+2)D+1222=(1-D)(x-x+2)=x-x(性质四)52dydy2-x22-x例9、2+2+2y=xe,则(D+2D+2)y=xedxdx*12-x-x12特解y