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时间:2018-10-15
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1、椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径,根据椭圆的定义,很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时,用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P(,)是椭圆上的任意一点,分别是椭圆的左、右焦点,椭圆,求证,。 证法1: 。 因为,所以 ∴ 又因为,所以 ∴, 证法2:设P到左、右准线的距离分别为,由椭圆的第二定义知,又,所以,而。 ∴,。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A()、B()、C()到焦
2、点F(4,0)的距离成等差数列,求的值。 解:在已知椭圆中,右准线方程为,设A、B、C到右准线的距离为,则、、。 ∵,,,而
3、AF
4、、
5、BF
6、、
7、CF
8、成等差数列。 ∴,即,。 评析:涉及椭圆上点到焦点的距离问题,一般采用焦半径公式求解,即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离,再利用等差数列的性质即可求出的值。 例2 设为椭圆的两个焦点,点P在椭圆上。已知P、、是一个直角三角形的三个顶点,且,求的值。 解:由椭圆方程可知a=3,b=2,并求得,离心率。 由椭圆的对称性,不妨设P(,)()是椭圆上的一点,则由题意知
9、应为左焦半径,应为右焦半径。 由焦半径公式,得,。 (1)若∠为直角,则,即,解得,故。 (2)若∠为直角,则,即=,解得,故。 评析:当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时,常利用焦半径公式把问题转化,此例就利用焦半径公式成功地求出值。 例3 已知椭圆C:,为其两个焦点,问能否在椭圆C上找一点M,使点M到左准线的距离
10、MN
11、是与的等比中项。若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。解:设存在点M(),使,由已知得a=2,,c=1,左准线为x=-4,则,即+48=0,解得,或。因此,点M不存在。评析:在涉及到椭圆上的点与其焦点的
12、距离时,如果直接用两点间距离公式,运算将非常复杂,而选用焦半径公式可使运算简
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