初 三 数 学（第11讲）圆中的计算问题

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1、初三数学（第11讲）主讲教师：李跃华（苏州立达中学）【教学内容与目的要求】第23章圆圆中的计算问题教学目的：1、理解圆周长与弧长有密切的联系。理解弧长计算公式，会计算圆的周长与弧长。能运用周长与弧长的知识解决一些实际问题，提高分析问题与解决问题的能力。2、会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积。学会分解与组合图形，3、了解圆锥的形成和圆锥的概念。了解圆锥的侧面展开图是扇形，会计算圆锥的侧面积和表面积。4、会把实际问题抽象成数学问题。学会分解与组合图形，培养空间想象力，掌握转化的数学思想方法。养成先分析后解题的习惯，既会合理思考，又会综合写出推理计算过程。【知识重

2、点与学习难点】　重点：1、理解弧长公式和应用弧长公式.要理解圆心角是1°的弧长等于圆周长的,这是建立弧长公式的关键，对于公式中的180、n表示的是倍、分关系，没有单位，还要掌握公式的逆用，培养逆向思维能力。2、会计算扇形的面积。对于扇形面积的计算公式，要理解它的二种形式以及它的不同用法，并会逆用公式。要理解圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的,圆心角是n°的扇形面积等于圆面积的.公式中的n与弧长公式中的n一样，理解为1°的倍数,不带单位。3、圆锥的侧面展开图、圆锥的侧面积计算，难点1、对于弧形部分，要分清各弧的圆心，半径，避免拿起题来就盲目地进行计算。　2、圆锥的侧面展开

3、图——扇形的圆心角的计算。通过实例观察圆锥的侧面展开图是扇形，有关圆锥高、母线以及底面半径的计算，关键是搞清高、母线以及底面半径和轴剖面图形之间的关系。会将侧面积的问题转化为平面的扇形来解决。【方法指导与教材延伸】1、在学习弧长公式时，要理解：360°的圆心角所对的弧长是圆周长C＝2πR,1°的圆心角的弧长就是圆周长的即，故圆心角为n°的弧长等于，即。强调这里的n表示1°的圆心角的倍数，是不带单位的。2、在学习扇形面积公式时要理解：圆心角是360°的扇形面积就是圆面积S=πR，圆心角是1°9的扇形面积等于圆面积的，即，故圆心角为n°的扇形面积为。3、对于扇形面积公式的记

4、忆，我们可考虑将它与三角形的面积公式类比，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，R看作高就行了。以上各情况，只要根据题意即可判明属何种情况，不必作为公式记住。4、在计算组合图形的面积时，要注意应用割、补的方法将复杂图形转化为三角形、正方形、圆、扇形等面积的和或差，还需经常作等积变形。5、圆锥的轴截面是等腰三角形，它的腰长等于圆锥的母线长，底边是圆锥底面直径，底边上的高，就是圆锥的高，它的顶角，反映了圆锥母线对于底面的倾斜程度，称为锥角，因此，圆柱、圆锥的轴截面是解题的突破口。6、圆锥是空间图形，由于在此之前均是研究平面图形，学生的空间想象能力较弱，而这部分内容在高

5、中立几中还需学，故应利用模型理解各部分概念。【例题选讲】例1如图，两根圆柱形钢件的横截面，它们的半径分别是3dm和1dm，现用一根绳子将它们捆紧，问至少需要多长的绳子？（不计接头捆扎部分）。（精确到0.1dm）分析：如图，这根绳子需从点A逆时针绕过⊙O1，再过⊙O2回到点A，所以绳子的长为AB+BmC+CD+AD，其中AB=CD，是两圆的公切线。解：作过切点的半径O2A、O1B、O1C、O2D，过点O2作O2E⊥O1B于E∵O1O2=3+1=4(dm)O1E=3-1=2(dm)∴∵AB是⊙O1、⊙O2的外公切线∴O1B⊥AB，O2A⊥AB又∵O2E⊥BO1∴O2EBA是

6、矩形∴AB=O2E=∵∴∠BO1O2=60°∴BmCAD∴绳子总长为AB+O2E+BmC+AD9例2如图，⊙O的弧AB长4πcm，圆心角∠AOB=60°，⊙P分别与AB、半径OA、半径OB相切于点E、C、D，求⊙P的周长；分析：求⊙P的周长，只要求出它的半径r，由于⊙P分别与AB、OA、OB相切，则延长OP交AB于E，作过切点的半径PC、PD可得：r=EP=OE-OP，其中OE的长可通过AB长为4πcm求出，OP可放在Rt△PCO中求出。解：∵⊙P与AB切于点E，即⊙P内切⊙O于E，则O、P、E三点共线，连结OP交AB于E，设⊙O半径为R，⊙P半径为r，连结PC、PD，

7、则PC⊥OA，PD⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上∴∵PC⊥OA∴在Rt△PCO中，OP=2PC=2r又∵OP=OE-PE=R-r∴2r=R-r∴∵AB=∴∴R=12(cm)∴∴⊙P的周长C=2πr=8π(cm)例3如图，若四边形ABCD内接于⊙O，且BCD:BAD=5:4，则BAD所对的圆心角为多少度？分析：要计算BAD所对的圆心角的度数，即求∠BOD的度数，即求BAD的度数。解：∵ABCD内接于⊙O∴BCD+BAD=圆周长设BCD=(5x)O，则BAD=(4x)O∴9x=360∴x=40°9∴BAD160°∴∠BOD=160°例4如图