阶梯教室座位设计问题

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1、阶梯教室座位设计问题数科三班马萍201211131910摘要关键字阶梯教室座位设计最佳位置平均满意程度问题的重述下图为阶梯教室的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角a和仰角P。视角a是学生眼睛到黑板上、下边缘视线的夹角，a越大越好；仰角P是学生眼睛到黑板上边缘视线与水平线的夹角，P太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求e不超过300。设阶梯教室黑板高h,上边缘距地面高H，地板线倾角0，第一排和最后一排座位与黑板水平距离分别为d和D,学生平均坐高为c（指眼睛到地诎的距离）。已知参数h=1.8,H=5,d=4.5,

2、D=19,c=l.l（单位：m）。（如图所示）（1）地板线倾角0=10o,问最佳座位在什么地方。（2）求地板线倾角0（—般不超过200），使所有学生的平均满意程度最大。（3）地板线设计成什么形状可以进一步提高学生的满意程度模型的假设1、假设学生可以按照比例近似为一段线段2、假设设计过程中没有学生数额要求3、假设阶梯教室的地面是水平的;符号的说明H一一黑板上边缘到地而的距离。D--…-最后一排到黑板的水平距离h------黑板的高度c-……学生平均座高d----…第一排到黑板的水平距离a_…学生眼睛与黑板上下边缘的夹角3-…

3、学生眼睛到黑板上边缘视线与水平线的夹角0-----地板线倾角m——学生脚底到水平线的垂直距离M------任意一位学生的座位位置A-------黑板上边缘的位置点B-…黑板下边缘的位置点0…学生座位到黑板的水平线与黑板所在竖直线的交点X---…学生座位到黑板的水平距离问题的分析问题一：题中给出了地板线与水平妞的具体夹角，要求求出最佳座位。根据题中己知条件，算出首排学生的仰角位为38.62度，可知在0给定的情况下，学生的最佳座位应该在P=30度的位置上。为此要找到a与某一变量的函数关系式，求此关系式函数所对应的图像，如图一，

4、进一步说明了这一点。具体找关系式是在题中所给的图中可以看出a在一个三角形中。因此我们用余弦定理找出角度CI与每个边的关系。题冃要求最佳座位，我们设学生与黑板之间.的水平距离X，运用简单的几何关系，我们得出了a与X的函数关系式。最终得出CI的最大值，即找出最佳座位。问题二：在问题二中，要求解出一个e值，使得所有的学生的平均满意程度最大。在第一题的结果中，我们知道，随着x的增大，的值单调递增，且a为一锐角，则a的值逐渐减小。同样由第一问可知3的值在整个过程中是逐渐减小的，在计算的过程中，随着的变化，最佳位置总在某一点附近摆动，

5、在P=30度时，取定此位置，在此位置右侧P<=30度，最佳位置只受a的影响，左侧同时受a和3的影响，但随着值从0度到20度变化，a逐渐变大，P逐渐减小，并考虑到此点距首位置较近，因此可以忽略3的影响，从全局考虑a的影响即可。又由于首座位的a值固定，故末位置a值取得最大值即可求得此时0角的大小，列出末位置cosa—0的函数关系，用EXCEL处理，由函数图像求得所求G值。问题的求解：在0=30度时，由公式：TAN30°={5-[(X-4.5)*TAN0+1.1]}/X求得:0=5O时，x=6.432；0=10°时,x=6

6、.225；0=15°时，x=6.020；模型的建立与求解由图二的几何关系得出m=(x—4.5)tanlO°，OA=3.9-m，0B=

7、m-2.1

8、0△ABM屮AM二[x2+(3.9-m)2]?BM=[X2+(2.1-m)2]?,故用余弦定理得cosa=[2x2+(3.9-m)2+(2.1-m)2—1.8]/2[x2+(3.9-m)2]?[x2+(2.1-m)2]?运用Excel软件得出cosa与x的关系做出了cosa与x图像，即图一。根裾图像得出a是根裾x的增大而减小的，由此知道ex的最大值在P=30o处取得。根据值求的最

9、佳座位x的值即为6.225m。问题二：由上图图二可得：OA=3.9-14.5*TAN0;OB=14.5*TAN0-2.1;AM=SQRT(19A2+(3.9-14.5*TAN0)A2);BM=SQRT(19A2+(14.5*TAN9-2.1)A2);AB=1.8;综上可求的得：COSa=[2*192+(3.9-14.5*TAN9)2+(14.5*TAN0-2.1)2-1.82]/[2*SQRT(192+(3.9-14.5*TAN0)2)*SQRT(192+(14.5*TAN0-2.1)2)];由EXCEL软件，得出图三，如

10、下由图经过计算，可得e最佳大小约为12.1度。问题三：问题三要求设计地板线的形状，进一步提高学生的满意程度，可在问题二的基础上进一步设计地板线形状，进而提高学生的满意程度。由问题二可知，同一e角时，在X=6.123附近的学生满意程度最佳，在其左侧的学生渴望更高一些，而右侧的学生则渴望离黑板更近一些，在附