数列极限的性质

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1、数列极限的性质1.唯一性定理1每个收敛的数列只有一个极限.证明例1在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,得到的数列称为子数列:定理2若数列xn收敛于a,则它的任一子数列也收敛,且极限也是a这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知,若数列xn有两个子数列收敛于不同的极限值,则xn一定是发散的。例2对于数列xn,3.有界性例如,有界无界定义收敛的数列必定有界.注意:有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.证明:定理34.保号性若定理4,则存在正整数当时,有推论对一切正整数,且,则5.运

2、算性质若,定理5,则1)2)3)4)例36.运算性质定理6设是非空有上界数集,且推论设是非空有界集,,则存在互不相同的数列,使得小结收敛数列的性质:有界性,唯一性,保号性等练习题

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