曾五一 应用统计学 第4章

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1、第四章概率与概率分布1本章主要内容：第一节随机事件与概率第二节随机变量及其概率分布第三节随机向量及其分布简介2第一节随机事件与概率一、随机试验与随机事件随机试验必须满足以下的性质：（1）每次试验的可能结果不是唯一的；（2）每次试验之前不能确定何种结果会出现；（3）试验可在相同条件下重复进行。在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果，称之为随机事件，简称事件。试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件也称样本点，设试验有n个基本事件，分

2、别记为(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1,ω2,…，ωn}，称为样本空间，Ω中的元素就是样本点。确定性现象，是指在一定的条件下，其结果能够明确预见的现象。我们把确定性现象的结果也看作一种特殊的随机事件：必然事件，用样本空间Ω表示。还有一种特殊的随机事件：不可能事件；不可能事件就是不可能出现的试验结果，用空集Ф表示。“A发生或B发生”事件记为A∪B；把“A与B同时发生”事件记为A∩B，或AB。如果AB=Ф，称A与B不相容。二、随机事件的概率1.概率的定义概率又称机率，是对随机事件发生可能性的度量。如何理解概率？最直观的办法就是进行重

3、复试验，通过试验的频率来体现概率。频率试验结果如果随机试验的样本空间是有限集合，所有样本点出现的可能性相同，则事件A的概率可根据以下公式计算：这样的概率计算模型，称为古典概型。2.概率的基本性质性质1：P(A)≥0；性质2：P(Ω)=1。性质1称为概率的非负性，性质2称为概率的规范性。性质3：若事件A与事件B互不相容，则：P(A∪B)=P(A)+P(B)3．关于主观概率一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生可能性所给出的个人信念，这样给出的概率称为主观概率。自主观概率提出以来，使用者越来越多，特别是在经济领域和决策分析中，应用非常广

4、泛，因为在那里遇到的随机现象大多是不能重复试验的，无法通过频率来确定概率。三、条件概率与事件独立（一）条件概率已知某一事件B已经发生，我们如何利用这项信息，求与事件B有联系的事件A发生的概率，这时所求的概率称为条件概率。设A，B为任意两个事件，其中，在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记为。条件概率的计算公式是：从条件概率公式我们可得到以下的“乘法定理”：【例4-4】甲、乙两企业存在既竞争又合作的关系，知道甲企业一年中能推出新产品的概率是20%，乙企业一年中能推出新产品的概率是18%，两企业一年中都能推出新产品的概

5、率是12%。若以A记“甲企业一年中推出新产品”，B记“乙企业一年中推出新产品”，则=0.20，=0.18，=0.12。试求：对于事件A与B，若p(AB)=p(B)p(A)，则称它们是统计独立的，简称相互独立。四、全概率公式与贝叶斯公式（一）全概率公式设事件A1，A2，…，An是样本空间的一个分割，即所有Ai两两互不相容，>0，i=1，2，…，n。而且：Ω，则有：这个公式称为全概率公式【例4-5】某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，其次品率分别是5%、4%、2%。从全厂产品中任取一件产

6、品，该产品是次品的概率是多少？（二）贝叶斯公式在全概率公式的条件下，进一步设，则对任意的i=1，2，…，n，有：【例4-6】为了提高某产品的质量，公司经理考虑增加投资改进生产设备。但从投资效果看，有二种状况可能发生：A1：改进生产设备后，高质量产品可占90%；A2：改进生产设备后，高质量产品可占70%。按经理过去的经验，p(A1)=0.4，p(A2)=0.6；这是事前概率。经理为了慎重起见，做了一项小规模试验，试验结果是：改进设备生产五个产品，全是高质量的产品。试问该经理根据试验的结果，会不会改变原来的信念？第二节随机变量及其概率分布

7、一、随机变量的含义随机变量就是其取值带有随机性的变量，在给定的条件下，这种变量取何值事先不能确定，只能由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。随机变量：离散型随机变量；连续型随机变量。二、离散型随机变量的概率分布概率分布有以下性质：(1)0≤p(xi)≤1(i=1,2,…)；(2)。离散型随机变量X的期望值为：方差为：三、连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的密度函数有以下的性质：(1)p(x)≥0；(2)；(3)概率的几何意义正态分布是最重要的一种连续型随机变量分布，原因有三：第一，它是最常见的一种分布，许多随机变量服从或近似

8、服从正态分布；第二，许多有用的分布可以由正态分布推导出来，如卡方分布、t分布和F分布都可由正态分布导出；第三，正态分布在一定条件下，还是一些其他分布的近似分布，如大样本下的t分布与正态分布近似。正态分布的密度函数：=0