第五节余弦函数

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1、§5余弦函数（2课时）洋浦实验中学吴永和一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。2、过程与方法类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函

2、数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。3、情感态度与价值观使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、难点重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。难点:余弦函数的诱导公式运用和性质应用。三、学法与教学用具我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情

3、况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。教学用具:投影机、三角板第一课时余弦函数的概念和诱导公式一、教学思路【创设情境，揭示课题】在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sinα＝。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.【探究新知】y1．余弦函数的定义在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P（a，b）,P(a，b)那

4、么点P的横坐标a叫做角α余弦函数，记作：a＝cosα(α∈R).r通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示xOM为y＝cosx(x∈R).如图，有向线段OM称为角α的余弦线。其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出

5、OP

6、，记为r，则4απ－α角α的正弦和余弦分别为：sinα＝，cosα＝.在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。2．余弦函数的诱导公式从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边π＋α与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；角α和角π＋α，π－α－α

7、的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，所以，它们的余弦函数值互为相反数。由此归纳出公式：xyoP’P(x,y)MMM’cos(2π＋α)＝cosαcos(－α)＝cosαcos(2π－α)＝cosαcos(π＋α)＝－cosαcos(π－α)＝－cosα请同学们观察右图，角α与角＋α的正弦、余弦函数值有什么关系？由图可知，Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标sin(＋α)相等；点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos(＋α)互为相反数。我们可以得到：sin(＋α)＝cosαcos(＋α)＝－sinα问题与思考：验证公式sin(＋α)＝cosα

8、cos(＋α)＝－sinαy以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。x2【巩固深化，发展思维】1．例题讲评－4例1．已知角α的终边经过点P（2，－4）(如图)，求角α的余弦P函数值。解：∵x＝2，y＝－4，∴r＝

9、OP

10、＝2∴cosα＝＝例2．如果将例1中点P的坐标改为（2t，－4t）(t≠0)，那么怎样求角α的余弦函数值。解：(提示：在r＝

11、OP

12、＝2

13、t

14、中，分t＜0和t＞0两种情况，见教材P31)例3．求值：（1）cos（2）cos（3）cos(－)（4）cos(－1650°)（5）cos(－

15、150°15’)解：（1）cos＝cos（2π－）＝cos＝4（2）cos＝cos（π＋）＝－cos≈－0.9239(3)、（4）、（5）略，见教材P33例4．化简：解：（略，见教材P33）1．学生练习教材P31的练习1、2、3和P34的练习1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、课后反思第二课时余弦函数的图像与性质一、