偏微分一维热传导问题

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1、技术资料偏微分大作业一维热传导方程问题——运用隐式格式求解数值解知识共享技术资料目录问题描述31解析解——分离变量法32数值解——隐式格式53证明隐式格式的相容性与稳定性54数值解——分析与Matlab实现65数值解与解析解的比较96随时间变化的细杆上的温度分布情况117稳定后细杆上的温度分布情况12参考文献13附录14知识共享技术资料有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入100℃的沸水中，当细杆的温度达到100℃时取出。假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0℃的冰水中。一维热传导方程：，现在令，从而可知本题：。现在要求细杆温度分布：。1解析解——分离变量法热传导

2、偏微分方程：(1)其中，首先令：(2)将(2)式带入(1)式得：于是可得：可以得到两个微分方程：先求解空间项：当时，由于知识共享技术资料可知:由于解的收敛性，则此时是平庸解。当时，则此时是平庸解。当时，，其中。所以，，因为所以，，则，初始条件：最终，，知识共享技术资料2数值解——隐式格式目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。这里使用隐式格式。利用，关于t进行向前差商：；关于x进行二阶中心差：；代入偏微分方程可以得到隐式差分格式：（1）3证明隐式格式的相容性与稳定性（1）相容性代入隐式格式得：(2)将（2）与原微分方程相减，得到截断误差：所以此隐式格式与原微分方程相容。知识共享

3、技术资料（2）稳定性令网格比为，则可以将（1）式改写得到：（3）首先令：（4）将（4）代入（3）式，根据欧拉公式化简得：（5）故得放大因子是：所以根据Fourier方法，隐式格式恒稳定。4数值解——分析与Matlab实现（1）边值与初值离散化将边值与初值离散化，与式（3）联立得差分线性方程组：，，再将方程组改写成的形式：知识共享技术资料本题的边界条件均为零。所以可以将上式改写。（1）Matlab的实现Ø杆长1米，时间2秒。设计空间步长h=0.1和时间步长t=0.01，网格比是。从而得到划分的空间网格点数是M1+1，时间网格点数是M2+1。先设初始的温度矩阵U(M2+1,M1+1)。再将边界

4、条件和初始条件编写到表示温度分布的矩阵中。具体代码可见最后附录。Ø编写矩阵A核心代码：对角线：A(i,i)=1+2r对角线的右方和下方：A(i,i+1)=-r;A(i+1,i)=-r;Ø下面就要运用进行迭代。当k=1时，A*U(2,j)=U(1,j)当k=2时，A*U(3,j)=U(2,j)当k=3时，A*U(4,j)=U(3,j)以此迭代下去直到k=M2。就可以得到整个温度随时间和空间的分布矩阵U。知识共享技术资料Ø数值解画图，如图1(a)和图1(b)所示。图1(a)数值解的温度分布图现在将着色平稳过渡。图1(b)着色平稳过渡的数值解的温度分布图知识共享技术资料5数值解与解析解的比较Ø首

5、先，我们需要将解析解离散化，解析解中有一项，当n越来越大时，会快速趋于0，故我们可以取n=8000。现在来证明可行性，在matlab里的工作空间运算。将解析解的温度分布画出来，数值解画图，如图2所示。图2解析解的温度分布图将数值解与解析解相减，得到误差图。如图3(a)和图3(b)，我们从图3(a)上可以看出空间上的误差，在边界处误差比较大。知识共享技术资料图3（a）数值解与解析解空间误差我们从图3(a)上可以看出时间的误差，在时间的最开始，处误差最大，然后又有一个小的波动，最后就误差渐渐变小，最后趋于0。图3（b）数值解与解析解时间误差知识共享技术资料6随时间变化的细杆上的温度分布情况从数

6、值解的温度分布三维图，如图4(a)和图4(b)可以看出随着时间的增加，细杆温度下降最后趋于0℃。从物理角度来说：细杆的温度会不断地向两端扩散，热量会慢慢散失，最终随着时间的增加，细杆的温度会趋于0℃。图4(a)细杆温度随时间的变化图现取细杆中心处一点，观看它随时间的温度变化情况。知识共享技术资料图4(b)细杆中央（x=0.5）温度随时间的变化图7稳定后细杆上的温度分布情况从图像上可以看出，最后稳定的情况下，细杆的温度是0℃。知识共享技术资料参考文献[1]冯立伟．热传导方程几种差分格式的MATLAB数值解法的比较[J]．沈阳化工大学，辽宁沈阳．2011(6)．[2]一维热传导方程数值解法及M

7、atlab实现[EB/OL]．2014-11-20http://www.doc88.com/p-65221891945.html知识共享技术资料附录代码：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%此程序用于解决一维热传导方程:ut-a^2uxx=0%%边界条件：u(0,t)=u(L,t)=0%%初始条件：u(x,0)=100,x!=0和L%%u(0,0)=0%%u