徐贻林--数学思想方法

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1、数学思想方法--奥林匹克数学的技巧徐贻林有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。１．已知x,y,z求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1．２．将一根长为16米的铁丝做成一个长方体骨架，且骨架的表面积为10米2，若不计接头处的误差，求能做成的长方体的最大棱长．３．已知a,b为两不相等的实数，且满足

2、2a２=5-2a,2b2=5-3b,求的值．４．已知为正数且，求表达式的最小值．５．一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋．６．甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么甲方获胜的所有可能出现的比赛过程的种数为多少？７．在圆周上给定个点，从中任选个点染成黑色．试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有个给定的点．８

3、．设S为平面上的一个有限点集（点数≥5），其中若干点染上红色，其余的点染上蓝色，设任何3个及3个以上的同色的点不共线．求证存在一个三角形，使得（1）它的3个顶点涂有相同颜色；（2）这三角形至少有一边上不包含另一种颜色的点．９．已知实数列具有下列性质：存在自然数n，满足及；求证：存在自然数N，使当时，总有．510．设为正数，它们的和等于1，试证必有下不等式成立：．11．求之值．12．设是给定的实数，证明存在实数，使得．这里的表示y的小数部分．13．从数集开始，每一次从其中任选两个数，用和代替它们．能否通过有限多次代替得到数集？14．设个整数具有性质：从其

4、中任意去掉一个，剩下的个数可以分成个数相等的两组，其和相等．证明这2n+1个整数全相等．16．证明任意3个实数不能同时满足下列三个不等式：．17．已知二次三项式的所有系数都是正的且，求证：对于任何满足的正数组，都有．18．设是1，2，…，7的一个排列，求证必为偶数．19．在数轴上给定两点1和，在区间内任取个点，在此个点中，每相邻两点连一线段，可得条线段．5证明在此n+1条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．20．已知实数a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求c的取值范围．21．设n∈N+，且n>1，求证：．23．求证：

5、sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°.24．“河内塔问题”　　设有个银圈，大小不同，从大到小排列在三根金棒中的一根。这些银圈要搬到另一根金棒上，每次搬一个．第三根金棒作为银圈暂时摆放用．在搬动过程中，仍要保持大圈在下，小圈在上，问要搬动多少次，才能将所有银圈从一根棒搬到另一根，且搬完后银圈相对位置不变？25．设表示不超过实数的最大整数，求的个位数．26．用1，2，3，4四种数字可以构造多少个含有偶数个1的位数？27．设求证：对一切，有．28．设，求证：．29．．530．已知a,b均为正整数,且a>b,sinθ=(其中0

6、<)．An=(a2+b2)nsin(nθ)求证:对一切正整数n,均为整数．练习：1．设a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1.求证：a+b>1.２．求和:．３．求的值．4．平面上有100条直线，它们之间能否恰有1985个不同的交点?5．实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5，设S＝x＋y，求＋的值．55