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1、毕业论文对称性在第一型曲线积分中的应用摘要:本文主要讨论了对称性在平面第一型曲线积分和空间第一型曲线中的应用,并把关于原点对称的结果推广到关于任意点对称和关于直线对称.关键词:对称性;曲线积分;连续;光滑曲线引言自然界中有许多事物都具有某种对称性,具有对称性的事物不仅看起来美观,还给我们处理问题带来了很大方便,对称性的应用十分广泛,文中有些题目按通常的方法去解决往往比较繁杂,但这时若能恰当地利用某种对称性，就会对我们解决问题提供极大的方便.本文仅就对称性在第一型曲线积分计算中的应用给出几个结论,并加以推广.对称性在平面第一型曲线积分中的应用及其推广定理1.1
2、设为定义在二维光滑曲线上的函数,且关于原点对称,,若,则;若,则（或）,其中和是关于原点对称的两部分.证明因为关于原点对称,所以不妨设:,则:,于是有周国园第10页2021-10-4毕业论文故当时,有;当时,有.推论设在光滑或分段光滑的平面曲线上可积,关于点对称.若为关于点的奇函数,则;若为关于点的偶函数,则,其中,,为关于点对称的一部分.推论设在上可积,其中为连接点与点的线段,,若,则;若,则,其中为的一半.推论设在连接点与点的线段上连续,则有,为连接点与点的线段;,为连接点与点的线段;,为连接点与点的线段.证明(仅证(3))令,则有周国园第10页2021
3、-10-4毕业论文即关于的中点为奇函数,故由推论1.2知,从而有.定理1.5设在光滑或分段光滑的若为关于直线的奇函数,则;若为关于直线的偶函数,则,其中为在直线一侧的部分.推论设在光滑或分段光滑的平面曲线上可积,关于直线对称,若为轮换奇函数,则;若为轮换偶函数,则,其中为在直线一侧的部分.推论设在光滑或分段光滑的平面曲线上可积,关于直线对称,,若有,则;若有,则,其中为在直线一侧的部分.推论设在光滑或分段光滑的平面曲线上可积,关于轴对称,若为关于的偏奇函数,则;若为关于的偏偶函数,则,其中为在上(右)半平面的部分.周国园第10页2021-10-4毕业论文推论
4、设在光滑或分段光滑的平面曲线上可积,关于直线对称,,若有,则;若有,则;若有,则,其中为在直线一侧的部分.证明设,,选为参数,有:,,;平面曲线上可积,关于直线对称,:,,.则故结论成立.对称性在空间第一型曲线积分中的应用及其推广对于空间曲线,许多结论类似与平面曲线,下面仅给出空间曲线关于坐标平面对称时的情形.定理2.1设光滑或分段光滑的空间曲线关于坐标平面对称,为曲线上的连续函数,若为关于相应坐标平面的奇函数,则;若为关于相应坐标平面的偶函数,则,其中为在坐标平面一侧的部分.推论设光滑或分段光滑的空间曲线关于三个坐标平面都对称,在上连续,周国园第10页20
5、21-10-4毕业论文若为偏奇函数,则有;若为三元偶函数,则有,其中为在第一卦限的部分.推论设光滑或分段光滑的空间曲线关于平面对称,在上连续,若为关于平面的奇函数,则;若为关于平面的偶函数,则,其中为在平面一侧的部分.应用实例例计算,其中:,由点经到.解法一,,,则.解法二关于轴对称,而是的奇函数,由推论知.例求曲线积分之值.其中是单位圆周,方向是逆时针的.解积分曲线可分为上、下两个对称的部分.在对称点与上,函数的大小相等,符号相同,但投影元素在上半圆上为负,下半圆上为正.因此,作为二者的乘积周国园第10页2021-10-4毕业论文在上、下半圆上,大小相等,
6、符号相反,两部部分上的积分彼此抵消,故.类似可知,因此原积分为零.例计算积分,其中:,.解积分曲线,关于,,有轮换对称性,因此.例设、、为一元连续函数,为奇函数,为球面上,的部分.为的边界曲线.规定为上逆时针方向(从轴正向往下看).计算.解令,(旋转),则变成,即.可见这是以轴为对称轴的直角锥.相当于.因此是上，夹在，之间的部分.的边界分别为周国园第10页2021-10-4毕业论文与它们关于平面对称.在对称点上的大小相等,符号相同,而在对称点上符号相反.因此.类似地有,.故.结语关于第二型曲线积分,也有与第一类型曲线积分中相似的结论,读者可以自行研究.另外,
7、关于对称性在曲面积分、重积分计算中的应用问题,我们将另行讨论.参考文献：[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1988.[2][德]戴根等.微积分中题解(第一、二卷)[M].人民教育出版社,1981.[3][日]堑江诚夫·桑原等.微积分学讲解[M].四川人民出版社,1983.[4]张人智等.数学分析中的问题与例题[M].江西人民出版社,1984.[5]沈树民等.微积分解题分析(上、下册)[M].江苏科学技术出版社,1981.[6]邹承祖等.数学分析习题课讲义[M].吉林大学出版社,1986.[7]菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第一、二
8、、三卷)[M].人民教育出版社,1957.[8]华东
