弹性力学空间问题解答

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1、第八章空间问题的解答§8-1按位移求解空间问题将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程如下：（8-1）其中。再将上面的弹性方程（8-1）代入平衡微分方程（7-1），并采用记号，得到（8-2）这是用位移分量表示的平衡微分方程，也就是按位移求解空间问题时所需用的基本微分方程。如果将工（8-1）代入式（7-5），就能把应力边界条件用位移分量来表示，但由于这样得出的方程太长，我们宁愿把应力边界条件保留为式（7-5）的形式，而理解其中的应力分量系通过式（8-1）用位移分量表示。位移边界条件则仍然如式（7-9）所示。§8-2半空间体受重力及均布压力设有半空间体，密度为，

2、在水平边界上受均布压力，图8-1，以边界面为面，轴铅直向下。这样，体力分量就是。采用按位移求解。由于对称（任一铅直平面都是对称面），试假设。（a）这样就得到可见基本微分方程（8-2）中的前二式自然满足，而第三式成为简化以后得（b）积分以后得（c）(d)其中A和B是待定常数。现在，试根据边界条件来决定常数A和B。将以上的结果代入弹性方程（8-1），得（e）在的边界面上，而。因为而，所以应力边界条件（7-5）中的前二式自然满足，而第三式要求将式（e）中的表达式代入，得，即。再代回式（e），即得应力分量的解答（f）并由式（d）得出铅直位移。（g）为了决定常数B，必须利用位移边界条件。

3、假定半空间体在距边界为处没有位移，图8-1，则有位移边界条件。将式（g）代入，得。再代回式（g），简化以后，得。（h）现在，应力分量和位移分量都已经完全确定，并且所有一切条件都已经满足，可见式（a）所示的假设完全正确，而所得的应力和位移就是正确解答。显然，最大的位移发生在边界上，由式（h）可得。在式（f）中，和是沿着直截面上的水平正应力，是水平截面上的铅直正应力，而它们的比值是。（8-5）